安徽省合肥一六八中学等学校2024届高三上学期名校期末联合测试数学试题（原卷全解析版）

2024 届高三名校期末测试 数学 考生注意： 1. 试卷分值： 150 分，考试时间： 120 分钟 . 2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上 . 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 ､草稿纸上作答无效 . 3. 所有答案均要答在答题卡上，否则无效 . 考试结束后只交答题卡 . 一 ､单选题 （本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 . ） 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 复数 的虚部为（ ） A.8 B.-8 C. D. 3. 已知向量 ，若向量 在向量 上的投影向量为 ，则 （ ） A.2 B. C.-2 D. 4. 在 中， “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 五人站成一排，如果 必须相邻，那么排 法种数为（ ） A.24 B.120 C.48 D.60 7. 若系列椭圆 的离心率 ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 已知等差数列 （公差不为 0 ）和等差数列 的前 项和分别为 ，如果关于 的实系数方程 有实数解，那么以下 1003 个方程 中，有实数解的方程至少有（ ）个 A.499 B.500 C.501 D.502 二 ､多选题 （本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分，有选错的得 0 分） 9. 已知一组数据： ，若去掉 12 和 45 ，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（ ） A. 中位数不变 B. 平均数不变 C. 方差不变 D. 第 40 百分位数不变 10. 双曲线 ，左 ､右顶点分别为 为坐标原点，如图，已知动直线 与双曲线 左 ､右两支分别交于 两点，与其两条渐近线分别交于 两点，则下列命题正确的是（ ） A. 存在直线 ，使得 B. 在运动的过程中，始终有 C. 若直线 的方程为 ，存在 ，使得 取到最大值 D. 若直线 的方程为 ，则双曲线 的离心率为 11. 如图所示，有一个棱长为 4 的正四面体 容器， 是 的中点， 是 上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线 与 所成的角为 B. 的周长最小值为 C. 如果在这个容器中放入 1 个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 D. 如果在这个容器中放入 4 个完全相同的小球 全部进入），则小球半径的最大值为 三 ､填空题 （本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 小于 300 的所有末尾是 1 的三位数的和等于 __________. 13. 已知函数 ，若 恒成立，则 __________. 14. 已知抛物线 ，点 为抛物线上的动点，点 与点 的距离 的最小值为 2 ，则 __________. 四 ､解答题 （本大题共 5 小题，共 77 分 . 解答应写出必要的文字说明 ､证明过程或演算步骤 ） 15. （ 13 分）在 中， 的对边分别为 ，已知 . （ 1 ）求 ； （ 2 ）已知点 在线段 上，且 ，求 长 . 16. （ 15 分）甲 ､乙两人进行射击比赛 ，每次比赛中，甲 ､乙各射击一次 ，甲 ､乙每次至少射中 8 环 . 根据统计资料可知，甲击中 8 环 ､ 9 环 ､ 10 环的概率分别为 ，乙击中 8 环 ､ 9 环 ､ 10 环的概率分别为 ，且甲 ､乙两人射击相互独立 . （ 1 ）在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率； （ 2 ）若独立进行三场比赛，其中 X 场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求 的分布列与数学期望 . 17. （ 15 分）如图，圆台 的轴截面为等腰梯形 ， 为底面圆周上异于 的点 . （ 1 ）在平面 内，过 作一条直线与平面 平行，并说明理由 . （ 2 ）设平面 平面 与平面 所成角为 ，当四棱锥 的体积最大时，求 的取值范围 . 18. （ 17 分）已知函数 . （ 1 ）当 时，探究 零点的个数； （ 2 ）当 时，证明： . 19. （ 17 分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中 . 阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点 与两定点 的距离之比 是一个常数，那么动点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线 上 . 已知动点 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 ，定点分别为椭圆 的右焦点 与右顶点 ，且椭圆 的离心率为 . （ 1 ）求椭圆 的标准方程； （ 2 ）如图，过右焦点 斜率为 的直线 与椭圆 相交于 （点 在 轴上方），点 是椭圆 上异于 的两点， 平分 平分 . ① 求 的取值范围； ② 将点 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若 外接圆的面积为 ，求直线 的方程 . 2024 届高三名校期末测试 · 数学 参考答案 ､提示及 评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B C A B C A D AD BD ACD 1. 【答案】 A 【解析】 ，又 . 故选： A. 2. 【答案】 B 【解析】因为 . 故选： B. 3. 【答案】 C 【解析】由题 在 上的投影向量为 ，又 ，即 . 故选： C. 4. 【答案】 A 【解析