北京市东城区景山学校2020-2021高二（下）期中考试数学试题（原卷全解析版）免费下载

北京市东城区景山学校 2020-2021 高二（下）期中考试 数 学 一、选择题（本大题共 10 小题） 1 ．设函数 ，当自变量 由 1 变到 1.1 时，函数的平均变化率是 　　 A ． 2.1 B ． 0.21 C ． 1.21 D ． 12.1 2 ．下列求导运算不正确的是 　　 A ． B ． C ． D ． 3 ．已知函数 的导函数 的图象如图所示，则 的图象可能是 　　 A ． B ． C ． D ． 4 ．已知直线 是曲线 的切线，则实数 的值为 　　 A ． B ． C ． D ． 5 ．从 4 位男生， 2 位女生中选 3 人组队参加学习强国答题比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法种数共有 　　 A ． 8 B ． 12 C ． 16 D ． 20 6 ．函数 的单调递减区间为 　　 A ． B ． C ． D ． 7 ．在 的展开式中，常数项为 　　 A ． 15 B ． C ． 30 D ． 8 ．若存在 ， ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围是 　　 A ． B ． C ． D ． 9 ．已知函数 ，则曲线 过点 的切线有 　　 A ． 0 条 B ． 1 条 C ． 2 条 D ． 3 条 10 ．函数 在 上有三个零点，则 的取值范围是 　　 A ． B ． C ． D ． 二、填空题（本大题共 5 小题） 11 ．已知函数 ，则 　　 ． 12 ．现有 5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 　 　 种． 13 ．已知函数 ，则 　 　 ． 14 ．已知 ，那么 　　 ， 　　 ．（用数字作答） 15 ．已知函数 ，对 ， ，当 时， ，则实数 的取值范围是 　　 ． 三、解答题（本大题共 5 小题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16 ．已知函数 ． （ 1 ）求曲线 在点 ， （ 1 ） 处的切线方程； （ 2 ）求函数 的单调增区间． 17 ． 10 双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出 4 只，试求出现如下结果时，各有多少种情况？ （ 1 ） 4 只鞋子没有成双的； （ 2 ） 4 只鞋子恰成两双； （ 3 ） 4 只鞋子有 2 只成双，另两只不成双． 18 ．已知函数 ． （ 1 ）当 时，求 的极值； （ 2 ）若 在 ， 上恒成立，求实数 的取值范围． 19 ．（ 1 ）已知 ，求 展开式中 项的系数； （ 2 ）对 ，求证： ． 20 ．已知函数 ， ． （ 1 ）求函数 在 处的切线方程； （ 2 ）是否存在正数 ，使得 对任意 ， 恒成立？证明你的结论． （ 3 ）求 在 ， 上零点的个数． 2021 北京东城景山学校高二（下）期中数学 参考答案 一、选择题（本大题共 10 小题） 1 ．【分析】求出自变量 的改变量，求出函数值的改变量，由函数值的改变量除以自变量的改变量即可得到答案． 【解答】解： △ ， △ ． 所以函数的平均变化率为 ． 故选： ． 【点评】本题考查了变化的快慢与变化率，是基础的概念题． 2 ．【分析】根据基本函数的导函数公式对选项进行逐一求解，注意常数的导数为 0 ，即可判定． 【解答】解： ， ， ， ， 故选项 错误， 故选： ． 【点评】本题主要考查了基本函数的导函数，解题的关键是熟练掌握导数公式，属于基础题． 3 ．【分析】根据导函数 的图象，利用 判断对应的函数 单调减； 判断 单调增． 【解答】解：当 时，由导函数 ，知相应的函数 在该区间内单调递减； 当 时，由导函数 的图象知，导函数在区间 内大于 0 ， 在此区间内函数 单调递增， 导函数在区间 ， 内小于 0 ，在此区间内函数 单调递减． 只有 选项符合题意． 故选： ． 【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性问题，是基础题． 4 ．【分析】先设出切点坐标 ， ，再利用导数的几何意义写出过 的切线方程，最后将原点坐标代入即可得 点坐标，从而得到直线 的斜率 【解答】解：曲线 的导数为 ，设切点为 ， ，则过 的切线方程为 代入 点得 ， 故选： ． 【点评】本题考查了导数的几何意义，解题时要注意发现隐含条件，辨别切线的类型，分别采用不同策略解决问题． 5 ．【分析】先根据女生入选的人数分类求出不同的选法，再根据加法原理求得结果． 【解答】解：由题设知不同的选法可分两种情况： 第一种情况，只有 1 位女生入选，不同的选法有 种； 第二种情况，有 2 位女生入选，不同的选法有 种， 根据分类加法计数原理知，至少有 位女生人选的不同的选法有 16 种， 故选： ． 【点评】本题主要考查两大原理在处理排列、组合中的应用，属于基础题． 6 ．【分析】由函数 ，得 ，令 ，解不等式即可，只是要注意函数的定义域． 【解答】解：由函数 ，得 ， 令 ，得 ，又 ，所以 ， ， 函数 的单调递减区间为 ． 故选： ． 【点评】本题考查学生函数单调性的求法，分式不等式的解法，关键是要注意函数的定义域． 7 ．【分析】求出展开式的通项公式，然后令 的指数为 0 ，由此即可求解． 【解答】解：展开式的通项公式为 ， 令 ，解得 ， 所以展开式的常数项为 ， 故选： ． 【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题． 8 ．【分析】存在 ， ，使得不等式 成立 ， ， 的最大值．设 ， ， ，利用导数研究函数的单调性极值即可得出． 【解答】解：存在 ， ，使得不等式 成立 ， ， 的最大值． 设 ，