重庆市育才中学校2023届高三4月诊断模拟数学试题 (原卷全解析版）

数学试题 注意事项： 1. 作答前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 . 2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效 . 3. 考试结束后，答题卡交回 . 一、选择题：本题共 8 小题、每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知抛物线 准线过双曲线 的一个焦点，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 林业部门规定：树龄 500 年以上的古树为一级，树龄 300~500 年之间的古树为二级，树龄 100~299 年的古树为三级，树龄低于 100 年不称为古树．林业工作者为研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数，由经验知树干截面近似圆形，年轮宽度依次构成等差数列．现为了评估某棵大树的级别，特测量数据如下：树干周长为 3.14 米，靠近树芯的第 5 个年轮宽度为 0.4cm ，靠近树皮的第 5 个年轮宽度为 0.2cm ，则估计该大树属于（ ） A. 一级 B. 二级 C. 三级 D. 不是古树 5. 已知函数 如满足： ， ，且 时， ，则 （ ） A. B. C. 0 D. 6. 在正三棱柱 中， ， ，以 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线长为（ ） A. B. C. D. 7. 函数 ，（ ， ， ）的部分图象如图中实线所示，图中圆 C 与 的图象交于 M ， N 两点，且 M 在 y 轴上，则下说法正确的是（ ） A. 函数 的最小正周期是 B. 函数 在 上单调递减 C. 函数 的图象向左平移 个单位后关于直线 对称 D. 若圆 C 的半径为 ，则函数 的解析式为 8. 已知定义在 上的函数 满足， ，且当 时， ， ，则关于 的不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共 4 小题、每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的 . 全部选对的得 5 分、有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分 . 9. 已知平面向量 ， ， ，则下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则向量 在 上的投影向量为 D. 若 ，则向量 与 的夹角为锐角 10. 已知 ， ，则下列说法正确 是（ ） A. 两圆位置关系是相交 B. 两圆的公共弦所在直线方程是 C. 上到直线 的距离为 的点有四个 D. 若 为 上任意一点，则 11. 一袋中有大小相同的 4 个红球和 2 个白球，给出下列 4 个结论，其中正确的有（ ） A. 从中任取 3 球，恰有一个白球的概率是 B. 从中有放回的取球 6 次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为 C. 现从中不放回的取球 2 次，每次任取 1 球，则第一次取到红球且第二次也取到红球的概率为 D. 从中有放回的取球 3 次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为 12. 下列说法中，其中正确的是（ ） A. 命题： “ ” 的否定是 “ ” B. 化简 结果为 2 C. … D. 在三棱锥 中， ， ，点 是侧棱 的中点，且 ，则三棱锥 的外接球 的体积为 . 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 把答案填写在答题卡相应位置上 . 13. 某个品种的小麦麦穗长度（单位： cm ）的样本数据如下： 10.2 、 9.7 、 10.8 、 9.1 、 8.9 、 8.6 、 9.8 、 9.6 、 9.9 、 11.2 、 10.6 、 11.7 ，则这组数据的第 80 百分位数为 ______ . 14. 二项式 展开式中常数项是 ________ ．（填数字） 15. 已知 a ， b 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值为 ______ ． 16. 经过坐标原点 O 的直线与椭圆 C ： 相交于 A ， B 两点，过 A 垂直于 AB 的直线与 C 交于点 D ，直线 DB 与 y 轴相交于点 E ，若 ，则 C 的离心率为 _______ ． 四、解答题：共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 设 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且满足 （ 1 ）求 的值； （ 2 ）若点 D 为边 的中点， ，求 的值． 18. 已知数列 的前 项和为 ，且 ， . （ 1 ） 求 的通项公式； （ 2 ） 记 ， ，数列 的前 项和为 ，求 . 19. 如图所示，在三棱柱 中，点 G 、 M 分别是线段 AD 、 BF 的中点 . （ 1 ） 求证： 平面 BEG ； （ 2 ） 若三棱柱 侧面 ABCD 和 ADEF 都是边长为 2 的正方形，平面 平面 ADEF ，求二面角 的余弦值； 20. 为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端制造､智能制造，把我国制造业和实体经济搞上去，推动我国经济由量大转向质强，许多企业致力于提升信息化管理水平 . 一些中小型工厂的规模不大，在选择管理软件时都要进行调查统计 . 某一小型工厂自己没有管理软件的高级技术员，欲购买管理软件服务公司的管理软件，并让其提供服务，某一管理软件服务公司有如下两种收费方案 . 方案一：管理软件服务公司每月收取工厂 48