浙江省杭州高级中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（全解析版）

浙江省杭州市杭州高级中学 2023-2024 学年高二上学期期末考试 数学试题 命题：高二数学备课组 审题：高二数学备课组 1. 本试卷分试题卷和答题卡两部分 . 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 . 2. 答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方 . 3. 答题时，请按照答题卡上 “ 注意事项 ” 的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效 . 4. 考试结束后，只需上交答题卡 . 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 直线 的倾斜角的大小为（ ） A. B. C. D. 2. 若数列 的通项公式为 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 若数列 满足 ， ，则 （ ） A. 3 B. 2 C. D. 4. 在空间四边形 中， ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 5. 以下四个命题中，正确的是（ ） A. 若 ，则 三点共线 B. 若 为空间 一个基底，则 构成空间的另一个基底 C. D. 若 ，且 ，则 6. 已知圆 ，圆 ，则两圆的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， S 10 ＝ 1 ， S 30 ＝ 13 ， S 40 ＝（　　） A. ﹣ 51 B. ﹣ 20 C. 27 D. 40 8. 双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 是双曲线左支上一点， ，直线 交双曲线的另一支于点 ， ，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 二 ､ 多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . ） 9. 下列求导运算正确 是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 10. 某次辩论赛有 7 位评委进行评分，首先 7 位评委各给出某选手一个原始分数，评定该选手成绩时从 7 个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分，得到 5 个有效评分．则这 5 个有效评分与 7 个原始评分相比，数字特征可能不同的是（ ） A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 11. 在直三棱柱 中， ， ， 分别是 的中点， 在线段 上，则下面说法中正确的有（ ） A. 平面 B. 若 是 上的中点，则 C. 直线 与平面 所成角 正弦值为 D. 存在点 使直线 与直线 平行 12. 在平面直角坐标系 中，已知 ，若动点 满足 则（ ） A. 存在点 ，使得 B. 面积的最大值为 C. 对任意的点 ，都有 D. 椭圆上存在 个点 ，使得 的面积为 三 ､ 填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 在等差数列 中， ，则 ________ . 14. 从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是 _____ . 15. 若函数 在 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 ________. 16. 高斯函数 是以德国数学家卡尔 - 高斯命名的初等函数，其中 表示不超过 的最大整数，如 . 已知 满足 ，设 的前 项和为 ， 的前 项和为 . 则（ 1 ） _____ ；（ 2 ）满足 的最小正整数 为 ____ ． 四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分，其中第 17 题 10 分，其它每题 12 分，解答应 写出文字说明 ､ 证明过程或演算步骤．） 17. 的内角 的对边分别为 ，已知 （ 1 ）求 ； （ 2 ）若 ， 的面积为 ，求 的周长 . 18. 如图，在平行四边形 中， ，四边形 为正方形，且平面 平面 . （ 1 ）证明 : ； （ 2 ）求平面 与平面 夹角的余弦值 . 19. 已知函数 . （ 1 ）讨论 单调性； （ 2 ）已知 时，直线 为曲线 的切线，求实数 的值． 20. 已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 . （ 1 ）求数列 的通项公式； （ 2 ）若 ， 的前 项和为 ，求 . 21. 已知抛物线 的焦点为 ，点 是曲线 上一点． （ 1 ）若 ，求点 的坐标； （ 2 ）若直线 与抛物线 交于 两点，且以 为直径的圆过点 ，求 . 22. 已知双曲线 的渐近线方程为 ，焦点到渐近线的距离为 ， 过点 作直线 （不与 轴重合）与双曲线 相交于 两点，过点 作直线 的垂线 为垂足． （ 1 ）求双曲线 标准方程； （ 2 ）是否存在实数 ，使得直线 过定点 ，若存在，求 的值及定点 的坐标；若不存在，说明理由 . 杭高 2023 学年第一学期期末考试高二 数学试题卷 命题：高二数学备课组 审题：高二数学备课组 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 直线 的倾斜角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】根据斜率等于倾斜角的正切值，结合倾斜角的范围即可求解 . 【详解】由 可得 ，所以直线 的斜率为 ， 设直线 的倾斜角为 ，则 ， 因为 ，所以 ， 故选： D. 2. 若数列 的通项公式为 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 分析】利用裂项相消求和可得答案 . 【详解】 ， 则 . 故选： A. 3. 若数列 满足 ， ，则 （ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】 C 【解