湖南省常德市第一中学2023-2024学年高三上学期第二次月考数学试题 （原卷全解析版）

常德市第一中学 2024 届高三第二次月水平检测 数学 （时量： 120 分钟满分： 150 分命题人､审题人：高三数学组） 一､单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 每小题只有一个答案符合题意） 1. 若集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 的值等于（ ） A. -2 B. 0 C. 8 D. 10 3. 函数 的图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的 “ 弓 ” ，掷铁饼者的手臂长约为 ，肩宽约为 ， “ 弓 ” 所在圆的半径约为 ，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据： ， ）（ ） A. 1.012m B. 1.768m C. 2.043m D. 2.945m 5. “ ” 是 “ 方程 有正实数根 ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设正实数 满足 ，则当 取得最小值时， 的最大值为（ ） A B. C. D. 7. 已知函数 是奇函数 的导函数，且满足 时， ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线 与曲线 和曲线 均相切，则实数 的解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数 二､多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，多选错选不得分，少选得两分） 9. 设 ．且 ，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. B. 中， C. 若 ，则 D. 11 已知函数 ， ，则（ ） A. 在 上为增函数 B. 当 时，方程 有且只有 3 个不同实根 C. 的值域为 D. 若 ，则 12. 已知定义 在 上的函数 满足对任意的 ， ， ，且当 时， ，则（ ） A. B. 对任意的 ， C. 是减函数 D. 若 ，且不等式 恒成立，则 最小值是 三､填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 若 ，则 的值为 ____________ . 14. 已知函数 在 上单调递增，则 a 的取值范围是 ______ ． 15. 设函数 ， 的定义域均为 ，且函数 ， 均为偶函数．若当 时， ，则 的值为 ________ ． 16. 已知函数 ，若不等式 对 恒成立，则实数 a 的取值范围为 __________ . 四､解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 17. 已知 ， . （ 1 ） 求 的大小； （ 2 ） 设函数 ， ，求 的单调区间及值域 . 18. 为数列 { } 的前 项和 . 已知 ＞ 0 ， = . （ Ⅰ ）求 { } 的通项公式； （ Ⅱ ）设 , 求数列 { } 的前 项和 . 19. 已知函数 ，其中 ， e 为自然对数的底数． （ 1 ） 讨论函数 的单调性； （ 2 ） 求函数 在区间 上 最大值． 20. 菱形 ABCD 中， ∠ ABC ＝ 120° ， EA ⊥ 平面 ABCD ， EA ∥ FD ， EA ＝ AD ＝ 2 FD ＝ 2. （ 1 ） 证明：直线 FC // 平面 EAB ； （ 2 ） 线段 EC 上是否存在点 M 使得直线 EB 与平面 BDM 所成角 正弦值为 ？若存在，求 ，若不存在，说明理由 . 21. 在平面直角坐标系 中，双曲线 的离心率为 ，实轴长为 4. （ 1 ） 求 C 的方程； （ 2 ） 如图，点 A 为双曲线的下顶点，直线 l 过点 且垂直于 y 轴（ P 位于原点与上顶点之间），过 P 的直线交 C 于 G ， H 两点，直线 AG ， AH 分别与 l 交于 M ， N 两点，若 O ， A ， N ， M 四点共圆，求点 P 的 坐标 . 22. 已知函数 . （ 1 ） 若函数 为增函数，求 的取值范围； （ 2 ） 已知 . （ i ）证明： ； （ ii ）若 ，证明： . 常德市第一中学 2024 届高三第二次月水平检测 数学 （时量： 120 分钟满分： 150 分命题人､审题人：高三数学组） 一､单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 每小题只有一个答案符合题意） 1. 若集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 解绝对值不等式得 A ，根据交集的定义计算即可 . 【详解】 解 得 ，即 ， B 为奇数集，故 . 故选： C 2. 的值等于（ ） A. -2 B. 0 C. 8 D. 10 【答案】 A 【解析】 【分析】 应用指数运算和对数运算计算求解即可 . 【详解】 . 故选： A. 3. 函数 的图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 由图知函数为偶函数，应用排除，先判断 B 中函数的奇偶性，再判断 A 、 C 中函数在 上的函数符号排除选项，即得答案 . 【详解】 由图知：函数图象关于 y 轴对称，其为偶函数，且 ， 由 且定义域为 R ，即 B 中函数为奇函数，排除； 当 时 、 ，即 A 、 C 中 上函数值为正，排除； 故选： D 4. 《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为 ，肩宽约为 ，“弓”所在圆的半径约为 ，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据： ， ）（ ） A. 1.012m B. 1.76