安徽省六校教育研究会2023-2024学年高三下学期第二次素养测试（2月）数学试题（全解析版）

安徽 省 六校教育研究会 2024 届高三年级第二次素养测试 数学试题 2024.2 考生注意： 1 ．满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2 ．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ． 已知全集 ，集合 ，则 等 于 （ ） A ． B ． C ． D ． 2 ． 若 ，则 （ ） A ． 0 B ． 1 C ． D ． 2 3 ． 的展开式中 的系数为 160 ，则 （ ） A ． 2 B ． C ． 4 D ． 4 ．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”，根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ） A ．甲地：总体均值为 3 ，中位数为 4 B ．乙地：总体均值为 1 ，总体方差大于 0 C ．丙地：中位数为 2 ，众数为 3 D ．丁地：总体均值为 2 ，总体方差为 3 5 ．椭圆 经过点 ，则其离心率 （ ） A ． B ． C ． D ． 6 ． 若函数 在区 间 恰 存三个零点，两个极值点，则 的取值范围是 （ ） A ． B ． C ． D ． 7 ．已知棱长为 8 的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为 2 的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ． 8 ．已知函数 ，若方程 有两个不同的实数解，则实数 a 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分、共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9 ．已知等基数列 的 前 项和为 ，且 ， 则 （ ） A ． B ． C ．当 时， 取最大值 D ．当 时， 的 最 小 值 为 19 10 ．已知直线 与 圆 交于点 ，点 中点为 ，则 （ ） A ． 的 最小值 为 B ． 的 最 大值为 4 C ． 为定值 D ．存在定点 ，使得 为定 值 11 ．已知函数 的定义 域 均为 ， ， ， ， 且当 时． ，则 （ ） A ． B ． C ．函数 关于直线 对称 D ．方程 有且只在 2 个 实根 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12 ．抛物线 的焦点为 F ，过 F 的直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，点 A 的横坐标为 6 、则 ______ ． 13 ． 已知正方形 的边长为 2 ，中心为 ， 四个半圆的圆心地为正方形 各边的中点（如图），若 在 上，且 ，则 的最大 值 为 ______ ． 14 ． 设 是以定点 为球心半径为 的球 面 ， 是一个 固 定平面， 到 的距 离 为 ．设 是以点 为球心的球 面， 它与 外切并与 相切．令 A 为 满 足上述条件的球心 构成的集合．设平面 与 平行且在 上有 A 中的点．设 是平面 与 之 间 的 距离 ．则 的最小值为 ______ ． 四、解答题：本题共 5 小题、共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15 ．（本小题满分 13 分） 在 中，内 角 的对边分別为 ． （ 1 ）求角 C ； （ 2 ）若 ，求角 的平分线 的长度． 16 ．（本小题满分 15 分） 如图，四 棱锥 的底 面 是 菱形 ，点 分別在 棱 上， ． （ 1 ）证明： 平而 ； （ 2 ）落二 面角 大小为 120 ° ，求 与平 面 所成 角 的正弦值． 17 ． （本小 题 满分 15 分） （ 1 ）已知 ，证明： ； （ 2 ）证明： ． 18 ．（本小题满分 17 分） 某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求． （ 1 ）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据 的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？ 性别 就餐区域 合计 南区 北区 男 33 10 43 女 38 7 45 合计 71 17 88 （ 2 ）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为 ；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为 ， ；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为 ．张同学第 1 天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为 ， ， ． （ⅰ）求第 2 天他去乙餐厅用餐的概率； （ ⅱ ）求第 天他去甲 餐 厅用 餐 的概 率 ． 附： ； 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6 ． 635 19 ． （本小题满分 17 分） 已知点 是四 上任意一点，点 关于点 的对称点为 ，线段 的中 垂 线与直线 相交于点 ，记点 的轨迹为曲线 ． （ 1 ）水曲线 的方程； （ 2 ）若点 ，直线 ，过点 的直线 与 交于 两点， 直 线 与 直线 分别交于点 ．证明： 的中点为定点． 安徽六校教育研究会 2024 届高三年级第二次素养测试数学试卷