2021年全国统一高考数学试卷（天津卷）（全解析版）

2021 年全国统一高考数学试卷（ 天津 卷） 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合 ， ， ，则 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） 2. 已知 ，则 “ ” 是 “ ” 的 （ A ）充分不必要 条件 （ B ）必要不充分 条件 （ C ）充要条件 （ D ）既不充分也不必要条件 3. 函数 的图像大致为 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） 4. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取 400 部，统计其平分数据，将所得 400 个评分数据分为 8 组： ， ， ， ，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间 内的影视作品数量为 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） 5. 设 ， ， ，则 、 、 的大小关系为 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） 6. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥的高之比为 ，则这两个圆锥的体积之和为 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） 7. 若 ，则 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） 8. 已知双曲线 的右焦点与抛物线 （ ）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于 两点，交双曲线的渐近线与 两点，若 , 则双曲线的离心率为 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） 9. 设 , 函数 , 若 在区间 内恰好有 6 个零点，则 的取值范围是 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） 二．填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．试题中包含两个空的，答对 1 个的给 3 分，全部答对的给 5 分． 10. i 是虚数单位，复数 =______. 11 在 的展开式中， 的系数是 _____. 12. 若斜率为 的直线与 y 轴交于点 A ，与圆 相切与点 B ，则 =____. 13. 若 则 的最小值为 _____. 14. 甲、乙两人在每次猜谜语活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对一方获胜，否则本次平局。已知每次活动中，甲乙猜对的概率分别为 和 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 _____;3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为 ______. 在边长为 1 的等边三角形 ABC 中。 D 为线段 BC 上的动点， DE ⊥ AB 且交 AB 与点 E ， 交 AC 于点 F ，则 的值为 _____; 的最小值为 _____. 三．解答题：本大题共 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分 14 分）在 ，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ． ． （ I ）求 的值； （ II ）求 的值； （ III ）求 的值． 17 （本小题满分 1 5 分） 如图，在棱长为 2 的正方体 中， E 为棱 BC 的中点， F 为棱 CD 的中点， (1) 求证： 平面 ; (2) 求直线 与平面 所成的角的正弦值 ; (3) 求二面角 的正弦值 . 1 8. （本小题满分 1 5 分）已知椭圆 + 的右焦点为 , 上顶点为 ，离心率为 ，且 . ( 1) 求椭圆的方程； ( 2) 直线 与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 ，过 与 垂直的直线交 轴于点 ，若 ，求直线 的方程 19. （本题满分 分）已知 是公差为 的等差数列，其前 项的和为 . 是公比大于 的等比数列， ， . （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）记 . （ i ）证明 是等比数列；（ ii ）证明 . 20. ( 本小题满分 16 分 ) 已知 , 函数 . 求函数 在点 处的切点的方程； 证明 存在唯一极值点 ; 若存在 , 使得 对于任意的 成立，求实数 b 的取值范围 . ———————————————————————————————————— ———————————————————————————————————— 2021 年全国统一高考数学试卷（ 天津 卷） 参考答案与试题解析 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合 ， ， ，则 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） 【思路分析】考查集合的运算，要看清楚题目是取交集还是并集． 【解析】（河南洛阳刘友友老师解析）由 ， 得 ，所以 ，选 C ． 【归纳总结】此类型题较为基础，考查学生对集合基本运算的掌握情况． 2. 已知 ，则 “ ” 是 “ ” 的 （ A ）充分不必要 条件 （ B ）必要不充分 条件 （ C ）充要条件 （ D ）既不充分也不必要条件 【思路分析】要把 这一条件进行整理或化简，进而判断是充分还是必要条件． 【解析】（河南洛阳刘友友老师解析） 等价于 或 ，故 ，即 ，但 ，因此 ” 是 “ 的充分不必要条件． 【归纳总结】本题考查充分条件与必要条件，可以借助口诀：“小充分大必要”，提升做题速度． 3. 函数 的图像大致为 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） 【思路分析】先判断函数 的奇偶性，然后取特殊值即可得到正确选项． 【解析】（河南洛阳刘友友老师解析）易得 为偶函数，故可排除 A ， C 选项，当 时， ，故可排除 D 选项．即答案选 B ． 【归纳总结】判断函数的大致图像，一般步骤是判断奇偶性、单调性，然后结合特殊值的情况加以确定图像． 4. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取 400 部，统计其平分数据，将所得 400 个评分数据分为 8 组： ， ， ， ，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间 内的影视作品