浙江省温州市温州中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题 （原卷全解析版）

浙江省温州中学 2023 学年第一学期 12 月月考 高二数学学科特色创新卷 一、选择题：本大题共 8 小题，解小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置 . 1. 直线 的倾斜角是 A. B. C. D. 2. 抛物线 的焦点到准线的距离（ ） A. 4 B. C. 2 D. 3. 已知直线 上有两点 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则 （ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 已知 ，则 （ ） A B. C. D. 5. 已知双曲线 ，焦距为 ，若 成等比数列，则该双曲线的离心率为（ ） A B. 2 C. D. 6. 定义 “ 等方差数列 ” ：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差 . 设 是由正数组成的等方差数列，且方公差为 2 ， ，则数列 的前 24 项和为（ ） A. B. 3 C. D. 6 7. 动点 在正方体 从点 开始沿表面运动，且与平面 的距离保持不变， 则动直线 与平面 所成角正弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若 ，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 在空间直角坐标系 中，已知点 ，则（ ） A. 点 关于 轴的对称点是 B. 点 关于 平面的对称点是 C. 点 关于 轴的对称点是 D. 点 关于原点的对称点是 10. 已知 ，下列说法正确的是（ ） A. 在 处的切线方程为 B. 的单调递减区间为 C. 在 处的切线方程为 D. 的单调递增区间为 11. 设等差数列 前 项和为 ，若 ，且 ，则（ ） A. 数列 为递增数列 B. 和 均为 的最小值 C. 存在正整数 ，使得 D. 存在正整数 ，使得 12. 已知椭圆 ： 左、右两个焦点分别为 ， ，短轴的上、下两个端点分别为 ， ， 的面积为 1 ，离心率为 ，点 P 是 C 上除长轴和短轴端点外的任意一点， 的平分线交 C 的长轴于点 M ，则（ ） A. 椭圆的焦距等于短轴长 B. 面积的最大值为 C. D. 的取值范围是 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 请将答案填在答题卷相应位置 . 13. 直线 被圆 截得的弦长为 __________ . 14. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，则此人第三天走的路程为 ___________ . 15. 已知函数 ，则使得 成立的 的取值范围是 _______ ____ . 16. 已知点 是抛物线 ： 与椭圆 ： 的公共焦点， 是椭圆 的另一焦点， P 是抛物线 上的动点，当 取得最小值时，点 P 恰好在椭圆 上，则椭圆 的离心率为 _______ . 四、解答题：木大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17. 已知公差不为零的正项等差数列 的前 n 项和为 ， ， ， ， 成等比数列 . （ 1 ） 求数列 的通项公式； （ 2 ） 令 ，求 的前 项和 . 18. 如图，直三棱柱 中， 是边长为 2 的正三角形， O 为 的中点 . （ 1 ） 证明： 平面 ； （ 2 ） 若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值 . 19. 已知 为抛物线 的焦点， 为坐标原点， 为 的准线 上的一点，线段 长度的最小值为 . （ 1 ） 求 的方程； （ 2 ） 过点 作一条直线 ，交 于 ， 两点，试问在准线 上是否存在定点 ，使得直线 与 的斜率之和等于直线 斜率的平方 ? 若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由 . 20. 已知函数 有两个极值点为 ， . （ 1 ） 当 时，求 的值； （ 2 ） 若 （ 为自然对数的底数），求 的最大值 . 21. 已知双曲线 左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线 上． （ 1 ） 求 的方程； （ 2 ） 过 作两条相互垂直的直线 和 ，与 的右支分别交 ， 两点和 ， 两点，求四边形 面积的最小值． 22. 已知函数 . （ 1 ） 讨论函数 的单调性； （ 2 ） 当 时，设 ，求证：函数 存在极大值点 ，且 . 浙江省温州中学 2023 学年第一学期 12 月月考 高二数学学科特色创新卷 一、选择题：本大题共 8 小题，解小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置 . 1. 直线 的倾斜角是 A B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【详解】试题分析：直线的斜率 ，故其倾斜角为 考点：直线的斜率与倾斜角的关系 2. 抛物线 的焦点到准线的距离（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 写出抛物线的标准方程，即可确定焦点到准线的距离. 【详解】 由题设，抛物线的标准方程为 ，则 ， ∴焦点到准线的距离为 4. 故选： A. 3. 已知直线 上有两点 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则 （ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据直线与平面平行等价于直线的方向向量与面的法向量