四川省南充高级中学2022-2023学年高二下学期第二次月考试题 数学（理） 试题（原卷全解析版）

南充高中高 20 21级高二下学期第二次月考 数学试题（理科） （时间：120分钟； 总 分150分；命审题人：蒋敏 魏杰） 一、选择题（本题 12 小题，每题 5 分，共 60 分） 1 ． 若 ，则 （      ） A ． B ． C ． 1 D ． 0 2 ．若复数 z 满足 （其中 i 为虚数单位），则 z 的虚部是（         ） A ． 2 i B ． C ． 2 D ． 3 ．函数 的单调递增区间为 （      ） A ．（ 0 ， ） B ．（ e ， +∞ ） C ．（ ， +∞ ） D ．（ ， e ） 4 ．已知条件 p ： ，条件 q ： 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 p 是 q 的（       ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 5 ． 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 在椭圆上，则 的最大值 是 （      ） A ． B ． C ． 10 D ． 6 ．用数学归纳法证明不等式 ( n ≥2) 的过程中，由 n ＝ k 递推到 n ＝ k ＋ 1 时，不等式的左边（      ） A ．增加了一项 B ．增加了两项 ， C ．增加了两项 ， ，又减少了一项 D ．增加了一项 ，又减少了一项 7 ．定义在 上的函数 的导函数 的图象如图所示， 则下列结论 不正确 的是（      ） A ．函数 在区间 上单调递增 B ．函数 在区间 上单调递减 C ．函数 在 处取得极小值 D ．函数 在 处取得极大值 8 ．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ． 192 种 B ． 216 种 C ． 240 种 D ． 288 种 9 ．七巧板被誉 为 “ 东方模板 ” ，是我国古代劳动人民的伟大发明之一， 由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板 组 成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形丢一 粒种 子，则种子落入黑色部分的概率为 （      ） A ． B ． C ． D ． 10 ．春锄园为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱 的顶端 A 处，喷出 的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示 . 现要求水流最高点 B 离 地面 ，点 B 到管柱 所在直线的距离为 ，且水流落在地面 上以 O 为圆心，以 为半径的圆上，则管柱 的高度为（      ） A ． B ． C ． D ． 11 ．设函数 ，其中 ，存在 ，使得 成立， 则实数 的值是 （      ） A ． B ． C ． D ． 12 ．已知 ， ， ，则 （      ） A ． B ． C ． D ． 二、填空题（本题 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 13 ．现有 4 种不同颜色，要对如图四个部分进行涂色，要求有公共边界 的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法种数为 _______. 14 ．已知复数 满足 ，则 ( 为虚数单位 ) 的最小值为 _______ ． 15 ．如图， ， 是双曲线 ： （ ， ）的左右 焦点，过 的直线与圆 相切，切点为 ，且交双曲线 的右支于点 ，若 ，则双曲线 的离心率 ______. 16 ．已知函数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 ____________ . 三、解答题（共 70 分） 17 ．（ 10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标原点 为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ． （ 1 ）求直线 的直角坐标方程与曲线 的普通方程； （ 2 ）已知点 的直角坐标为 ，直线 与曲线 相交于 A ， B 两点，求 的值． 1 8 ．（ 12 分）已知函数 在 处有极值 . （ 1 ）求实数 的值； （ 2 ）求函数 在 上的最值 . 19 ．（ 12 分）某学校有学生 人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了 名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这 名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 . （ 1 ）求频率分布直方图中 的值，并估计该校学生满意度打分不低于 分的人数； （ 2 ）若采用分层抽样的方法，从打分在 的受访学生中随机抽取 人了解情况，再从中选取 人进行跟踪分析，求这 人至少有一人评分在 的概率 . 20 ．（ 12 分）如图所示多面体 ABCDEF 中，平面 平面 ABCD ， 平面 ABCD ， 是正三角形，四边形 ABCD 是菱形， ， ， （ 1 ）求证： 平面 ABCD ； （ 2 ）求二面角 的正弦值 . 21 ．（ 12 分）已知椭圆 上的点到两个焦点的距离之和为 ，短轴的两个顶点和两个焦点连接成的四边形为正方形 . （ 1 ）求椭圆 的方程； （ 2 ）设点 为椭圆 上的两点， 为坐标原点， ，求 的取值范围 . 22 ．（ 12 分）已知函数 ， ． （ 1 ）讨论 的单调性； （ 2 ）若 ，当 时，证明： ． 理科数学 参考答案： 1 ． D 2 ． B 3 ． C 4 ． A 5 ． B 6 ． C 7 ． D 8. B 9 ． C 【详解】设小正方形边长 1 ，可得黑色平行四边形底为 ，高 ；黑色等腰直角三角形直角边为 2 ，斜边 2 ，大正方形边长 2 ，落入黑色部分 10 ． B 【详解】以 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，记 且垂足为 ， 在 轴上的投影点为 ，设抛物线方程为 ， 由题意可知： ， 所以