湖南省邵阳市武冈市2024届高三上学期期中考试 数学试题（原卷全解析版）

湖南省邵阳市武冈市 2024 届高三上学期期中考试 数 学 本试卷分为问卷和答卷 . 考试时量 120 分钟，满分 150 分 . 请将答案写在答题卡上 . 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知 ，若复数 为纯虚数，则复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若向量 ，则 “ ” 是 “ 向量 的夹角为钝角 ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，若 ，且 ，则 （ ） A B. C. 1 D. 3 5. 已知某种垃圾的分解率为 ，与时间 （月）满足函数关系式 （其中 ， 为非零常数），若经过 12 个月，这种垃圾的分解率为 10% ，经过 24 个月，这种垃圾的分解率为 20% ，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过（ ）（参考数据： ） A. 48 个月 B. 52 个月 C. 64 个月 D. 120 个月 6. 已知函数 的部分图象如图所示，其中 . 在已知 的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量 满足 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 ，当 时， 恒成立，则 m 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 关于函数 ，下列结论正确 是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 2 C. 在 上单调递减 D. 是 的一条对称轴 10. 设等比数列 的公比为 ，其前 n 项和为 ，前 n 项积为 ，并满足 ， ， ，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 是数列 中的最大项 D. 是数列 中的最大项 11. 已知过抛物线 T ： 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 T 于 A ， B 两点，交抛物线 T 的准线与点 M ， ， ，则下列说法正确的有（ ） A. 直线 l 的倾斜角为 150° B. C. 点 F 到准线 距离为 8 D. 抛物线 T 的方程为 12. 如图，在直四棱柱 中， 分别为侧棱 上一点， ，则（ ） A. B. 可能为 C. 的最大值为 D. 当 时， 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 已知 ，则 _____ . 14. 某班派遣 五位同学到甲，乙，丙三个街道进行打扫活动，每个街道至少有一位同学去，至多有两位同学去，且 两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有 _________ 种 . 15. 已知体积为 96 的四棱锥 的底面是边长为 的正方形，底面 ABCD 的中心为 ，四棱锥 的外接球球心 O 到底面 ABCD 的距离为 2 ，则点 P 的轨迹的长度为 _________ . 16. 已知函数 有两个极值点 ，且 ，则实数 m 的取值范围是 __________ . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 已知数列 满足 （ 1 ） 令 ，求证：数列 为等比数列； （ 2 ） 求数列 的前 项和为 . 18. 如下图，在直三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点，且 ， . （ 1 ） 求三棱锥的 体积； （ 2 ） 求直线 与平面 所成角 的余弦值 . 19. 某公司有 A ， B ， C 型三辆新能源电动汽车参加阳光保险，每辆车需要向阳光保险缴纳 800 元的保险金，若在一年内出现事故每辆车可赔 8000 元的赔偿金（假设每辆车每年最多赔偿一次） . 设 型三辆车一年内发生事故的概率分别为 ， ， ，且每辆车是否发生事故相互独立 . （ 1 ） 求该公司获赔的概率； （ 2 ） 设获赔金额为 X ，求 X 的分布列和数学期望 . 20. 在 中， a 、 b 、 c 分别为角 所对的三边，若 （ 1 ） 求角 C ； （ 2 ） 若 ，求 的最大值 . 21. 如图，椭圆 ，点 在椭圆 C 上， 为其上下顶点，且 ，过点 P 作两直线 与 分别交椭圆 C 于 两点，若直线 与 的斜率互为相反数 . （ 1 ） 求椭圆的标准方程； （ 2 ） 求 的最大值 . 22 已知函数 . ( 1)若 在 上为单调函数，求实数 a 的取值范围 ; （ 2 ）若 ，记 的两个极值点为 ， ，记 的最大值与最小值分别为 M ， m ，求 的值 . 2023 年下学期期中考试试卷 高三数学 本试卷分为问卷和答卷 . 考试时量 120 分钟，满分 150 分 . 请将答案写在答题卡上 . 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据并集的定义可求得集合 . 【详解】 因为集合 ， ，则 . 故选： B. 2. 已知 ，若复数 为纯虚数，则复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】 A 【解析】 【分析】 根据已知列式解出 ，即可根据复数的运算得出答案 . 【详解】 复数 是纯虚数， ，且 ，故 ， . 故复数 在复平面内对应的点在