椭圆（高考真题汇编）-2022--2023年2年全国高考数学试题（原卷全解析版）

椭圆（高考真题汇编） 2022-2023 年 2 年全国高考数学试题全解析版 一．选择题（共 6 小题） 1 ．（ 2023• 甲卷）设 F 1 ， F 2 为椭圆 C ： + y 2 ＝ 1 的两个焦点，点 P 在 C 上，若 • ＝ 0 ，则 | PF 1 |•| PF 2 | ＝（　　） A ． 1 B ． 2 C ． 4 D ． 5 2 ．（ 2023• 新高考Ⅰ）设椭圆 C 1 ： + y 2 ＝ 1 （ a ＞ 1 ）， C 2 ： + y 2 ＝ 1 的离心率分别为 e 1 ， e 2 ．若 e 2 ＝ e 1 ，则 a ＝（　　） A ． B ． C ． D ． 3 ．（ 2022• 甲卷）椭圆 C ： + ＝ 1 （ a ＞ b ＞ 0 ）的左顶点为 A ，点 P ， Q 均在 C 上，且关于 y 轴对称．若直线 AP ， AQ 的斜率之积为 ，则 C 的离心率为（　　） A ． B ． C ． D ． 4 ．（ 2023• 新高考Ⅱ）已知椭圆 C ： 的左焦点和右焦点分别为 F 1 和 F 2 ，直线 y ＝ x + m 与 C 交于点 A ， B 两点，若 △ F 1 AB 面积是 △ F 2 AB 面积的两倍，则 m ＝（　　） A ． B ． C ． D ． 5 ．（ 2022• 甲卷）已知椭圆 C ： + ＝ 1 （ a ＞ b ＞ 0 ）的离心率为 ， A 1 ， A 2 分别为 C 的左、右顶点， B 为 C 的上顶点．若 • ＝﹣ 1 ，则 C 的方程为（　　） A ． + ＝ 1 B ． + ＝ 1 C ． + ＝ 1 D ． + y 2 ＝ 1 6 ．（ 2023• 甲卷）已知椭圆 ＝ 1 ， F 1 ， F 2 为两个焦点， O 为原点， P 为椭圆上一点， cos ∠ F 1 PF 2 ＝ ，则 | PO | ＝（　　） A ． B ． C ． D ． 二．填空题（共 2 小题） 7 ．（ 2022• 新高考Ⅱ）已知直线 l 与椭圆 + ＝ 1 在第一象限交于 A ， B 两点， l 与 x 轴、 y 轴分别相交于 M ， N 两点，且 | MA | ＝ | NB | ， | MN | ＝ 2 ，则 l 的方程为 　 　 ． 8 ．（ 2022• 新高考Ⅰ）已知椭圆 C ： + ＝ 1 （ a ＞ b ＞ 0 ）， C 的上顶点为 A ，两个焦点为 F 1 ， F 2 ，离心率为 ．过 F 1 且垂直于 AF 2 的直线与 C 交于 D ， E 两点， | DE | ＝ 6 ，则 △ ADE 的周长是 　 　 ． 三．解答题（共 10 小题） 9 ．（ 2022• 全国）已知椭圆 C 的左、右焦点分别为 F 1 （﹣ c ， 0 ）， F 2 （ c ， 0 ），直线 y ＝ x 交 C 于 A ， B 两点， | AB | ＝ 2 ，四边形 AF 1 BF 2 的面积为 4 ． （ 1 ）求 c ； （ 2 ）求 C 的方程． 10 ．（ 2023• 上海）已知椭圆 Γ ： + ＝ 1 （ m ＞ 0 且 m ≠ ）． （ 1 ）若 m ＝ 2 ，求椭圆 Γ 的离心率； （ 2 ）设 A 1 、 A 2 为椭圆 Γ 的左右顶点，椭圆 Γ 上一点 E 的纵坐标为 1 ，且 • ＝﹣ 2 ，求实数 m 的值； （ 3 ）过椭圆 Γ 上一点 P 作斜率为 的直线 l ，若直线 l 与双曲线 ﹣ ＝ 1 有且仅有一个公共点，求实数 m 的取值范围． 11 ．（ 2023• 全国）已知椭圆 C ： 的离心率为 ，直线 交 C 于 A 、 B 两点， ． （ 1 ）求 C 的方程； （ 2 ）记 C 的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ，过 F 1 斜率为 1 的直线交 C 于 G 、 H 两点，求 △ F 2 GH 的周长． 12 ．（ 2022• 天津）椭圆 + ＝ 1 （ a ＞ b ＞ 0 ）的右焦点为 F 、右顶点为 A ，上顶点为 B ，且满足 ＝ ． （ 1 ）求椭圆的离心率 e ； （ 2 ）直线 l 与椭圆有唯一公共点 M ，与 y 轴相交于 N （ N 异于 M ）．记 O 为坐标原点，若 | OM | ＝ | ON | ，且 △ OMN 的面积为 ，求椭圆的标准方程． 13 ．（ 2022• 上海）已知椭圆 Γ ： + y 2 ＝ 1 （ a ＞ 1 ）， A 、 B 两点分别为 Γ 的左顶点、下顶点， C 、 D 两点均在直线 l ： x ＝ a 上，且 C 在第一象限． （ 1 ）设 F 是椭圆 Γ 的右焦点，且 ∠ AFB ＝ ，求 Γ 的标准方程； （ 2 ）若 C 、 D 两点纵坐标分别为 2 、 1 ，请判断直线 AD 与直线 BC 的交点是否在椭圆 Γ 上，并说明理由； （ 3 ）设直线 AD 、 BC 分别交椭圆 Γ 于点 P 、点 Q ，若 P 、 Q 关于原点对称，求 | CD | 的最小值． 14 ．（ 2023• 天津）设椭圆 + ＝ 1 （ a ＞ b ＞ 0 ）的左、右顶点分别为 A 1 ， A 2 ，右焦点为 F ，已知 | A 1 F | ＝ 3 ， | A 2 F | ＝ 1 ． （Ⅰ）求椭圆方程及其离心率； （Ⅱ）已知点 P 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线 A 2 P 交 y 轴于点 Q ，若 △ A 1 PQ 的面积是 △ A 2 FP 面积的二倍，求直线 A 2 P 的方程． 15 ．（ 2022• 北京）已知椭圆 E ： + ＝ 1 （ a ＞ b ＞ 0 ）的一个顶点为 A （ 0 ， 1 ），焦距为 2 ． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）过点 P （﹣ 2 ， 1 ）作斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B ， C ，直线 AB ， AC 分别与 x 轴交于点 M ， N ．当 | MN | ＝ 2 时，求 k 的值． 16 ．（ 2022• 乙卷）已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、 y 轴，且过 A （ 0 ，﹣ 2 ）， B （ ，﹣ 1 ）两点． （ 1 ）求 E 的方程； （ 2 ）设过点 P （ 1 ，﹣ 2 ）的直线交 E 于 M ， N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段 AB 交于点 T ，点 H 满足 ＝ ．证明：直线 HN 过定点． 17 ．（ 2023• 北京）已知椭圆 E ： + ＝ 1 （ a ＞ b ＞ 0 ）的离心率为 ， A 、 C 分别为 E 的上、下顶点， B 、 D 分别为 E 的左、右顶点， | AC