北京市海淀区2020-2021学年高二（下）期中考试数学试题（原卷全解析版）免费下载

北京市海淀区 2020-2021 学年高二（下）期中考试 数 学 2021.4 本试卷共 4 页， 100 分。考试时长 90 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 已知等差数列 中， =2 ，公差 ，则 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 2. 已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 . 若 ， ，则 A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 3. 函数 的导函数 A. B. C. D. 4 . 已知函数 的图象如右图所示，则 的极小值点的集合为 A. B. C. D. 5. 已知函数 . 若对于任意 ，都有 ，则实数 的范围是 A. B. C. D. 6. 科学家经过长期监测，发现在某一段时间内，某物种的种群数量 可以近似看作时间 的函数，记作 ，其瞬时变化率 和 的关系为 ，其中 为常数 . 在下列选项所给函数中， 可能是 A. B. C. D. 7. 若函数 有唯一零点，则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 8. 一个小球作简谐振动，其运动方程为 ，其中 （单位： cm ）是小球相对于平衡点的位移， （单位： s ）为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时， A. 1 B. C. D. 9. 已知等比数列 满足 ， ，记 ，则数列 A ．有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 10. 已知等比数列 满足 ．若 ，则 A ． B ． C ． D ． 二、填空题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。 11. 函数 在 处的切线方程为 _______________. 12. 已知函数 ，则 _____________. 13. 已知等比数列 的前 项和 ，则 ______, ______. 14. 已知等比数列 满足 . 能说明 “ 若 ，则 ” 为假命题的数列 的通项公式 ___________ ．（写出一个即可） 15. 物体的温度（ ℃ ）在恒定温度（ ℃ ）环境中的变化模型为： ，其中 表示物体所处环境的温度， 是物体的初始温度， 是经过 小时后物体的温度，且 . 现将与室温相同的食材放进冰箱的冷冻室，如果用以上模型来估算放入冰箱食材的温度变化情况，则食材的温度在单位时间下降的幅度 _______ （填写正确选项的序号） . ① 越来越大 ② 越来越小 ③ 恒定不变 三、解答题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. 已知等差数列 的前 n 项和为 ，且 ， ． （ Ⅰ ）求 的通项公式； （ Ⅱ ）求数列 的前 20 项和 ； （ Ⅲ ）在数列 中是否存在不同的两项，使得它们的等比中项中至少有一个仍是该数列中的项？若存在，请写出这两项的值（写出一组即可）；若不存在，请说明理由 . 17. 已知函数 （ ） . （ Ⅰ ）当 时，求函数的单调区间； （ Ⅱ ）若 恒成立，求 的取值范围 . 18. 易拉罐用料最省问题的研究 . 小明同学最近注意到一条新闻，易拉罐（如右图所示）作为饮品的容器，每年的用量可达数万亿个 . 这让他想到一个用料最优化的问题，即在易拉罐的体积一定的情况下，如何确定易拉罐的高和半径才能使得用料最省？ 他研究发现易拉罐的上盖、下底和侧壁的厚度是不同的，进而结合数学建模知识进行了深入研究 . 以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分 . （ Ⅰ ）模型假设： ① 易拉罐近似看成圆柱体； ② 上盖、下底、侧壁的厚度处处均匀； ③ 上盖、下底、侧壁所用金属相同； ④ 易拉罐接口处的所用材料忽略不计 . （ Ⅱ ）建立模型： 记圆柱体积为 ，高为 ，底面半径为 ，上盖、下底和侧壁的厚度分别为 ，金属用料总量为 . 由几何知识得到如下数量关系： . ① . ② 由 ① 得 ，代入 ② 整理得： . 因为 都是常数，不妨设 ， ， 则用料总量的函数简化为 . 请写出表格中代入整理这一步的目的是： ___________________________. （ Ⅲ ）求解模型： 所以，在 ___________ （用 表示）时 , 取得最小值，即在此种情况下用料最省 . （ Ⅳ ）检验模型： 小明上网查阅到目前 330 毫升可乐易拉罐的数据，得知 （ cm ）， （ cm ）， （ cm ），代入（ Ⅲ ）的模型结果，经计算得 （ cm ） . 经验算，确认计算无误，但是这与实际罐体半径 3.305cm 差异较大 . 实际上，在经济利益驱动之下，目前的罐体成本应该已经达最优 . （ Ⅴ ）模型评价与改进： 模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为： __________________________ _______________________________________________________________________. 相应改进措施为： __________________________________________________________ _______________________________________________________________________. 19.