2023-2024学年江苏省泰兴中学高二上学期阶段测试（一）数学试题（解析版）

2023-2024 学年江苏省泰兴中学高二上学期阶段测试（一）数学试题 一、单选题 1 ．已知直线过 ， 两点，且倾斜角为 ，则 （      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 C 【分析】 由斜率公式直接列方程求解即可 . 【详解】 因为直线过 ， 两点，且倾斜角为 ， 所以 ，解得 ， 故选： C. 2 ．若方程 表示圆，则实数 的取值范围是（      ）． A ． B ． C ． D ． 【答案】 B 【分析】 由题意可得 ，从而可求得实数 的取值范围 【详解】 ∵ 表示圆，则 ， ∴ ， 故选： B ． 3 ．椭圆 的离心率为（      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 A 【分析】 先求出 ， ，再求椭圆的离心率 . 【详解】 解：因为 ，所以 ，则 ， ， 所以 ，又因为 ，所以 . 故选： A. 【点睛】 本题考查椭圆的简单几何性质；利用椭圆方程求 、 ；利用椭圆方程求离心率，是基础 题 4 ．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面 3 米，水面宽 12 米，当水面下降 1 米后，水面宽度为（      ） A ． 米 B ． 米 C ． 米 D ． 米 【答案】 C 【分析】 建立合适的直角坐标系，利用待定系数法求出圆的方程，当水面下降 1 米后，设水面所在直线与圆的交点为 ，将点的坐标代入圆的方程，求出 的值，即可得到答案． 【详解】 如图建立平面直角坐标系，则圆心在 y 轴上，设圆的半径为 r ， 则圆的方程为 ， ∵ 拱顶离水面 3 米，水面宽 12 米， ∴ 圆过点 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 圆的方程为 ， 当水面下降 1 米后，可设水面的端点坐标为 ，则 ， ∴ ， ∴ 当水面下降 1 米后，水面宽度为 ． 故选： C ． 5 ．若直线 与曲线 只有一个公共点，则实数 的取值范围是（      ） A ． B ． 或 C ． D ． 或 【答案】 D 【分析】 由题知曲线 ，表示圆心为原点，半径为 1 的半圆，分直线与曲线相切，或相交两种情况解决即可 . 【详解】 因为曲线 ，即 ， 表示圆心为原点，半径为 1 的半圆，如图， 当直线 ，即 与曲线相切时， 圆心到直线的距离 ，解得 或 （舍去） 当直线 ，即 与曲线相交且只有一个交点时， ， 综上可得， 或 ， 故选： D 6 ．椭圆 的左、右焦点为 ，过 作直线 垂直于 x 轴，交椭圆 C 于 A ， B 两点，若 为等腰直角三角形，且 ，则椭圆 C 的离心率为 A ． B ． C ． D ． 【答案】 A 【分析】 根据几何关系，由 得 a 、 b 、 c 的齐次式，然后可得 . 【详解】 ∵ 轴， ∴ ． ∵ 为等腰直角三角形， 为 AB 中点， ∴ ， ∴ ，化为 ．解得 ． 故选： A ． 7 ．在平面直角坐标系 中