学科 网( 北 京)股 份有 限 公司
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0 2 3 年 中山 大学 强基计 划 测试 数 学 试题
共 4道 解 答 题, 考试 时间 20 23 年 7月 1日 ,时长 为 45 分 钟
1. 已知 * n N ,求 1 0
2
2
k n
k k
n
的值 .
2 . 已知
* n N ,求证 : 7不 整除 1 2n.
3 . 解方程 :
2 2 2
c o s co s 2 co s 3 1
x xx
4. 解不等 式:
2
4
29
( 1 12)
x
x
x
学 科 网( 北 京)股 份有 限 公司 2
0 2 3 年 中山大 学 强基计 划测 试 数学 试题 解析
1 . 已 知
*
n N
, 求 1
0 2
2 k
n
k
k n
的
值 .
分 析 :中 学求 和无非 是等比 数列类 型 或裂 项类型 的 ,本 体不 是等差 等比数 列 ,所 以尝 试
裂 项求 和 .
解 : 显 然
1 1
2
1
2 22
k
k k
n
n
根 据取 整等号 的性质 有:
1
2 2
x
x
x
所
以 1 1 1 1
2
1
2 2 22 2 2
k
k k kk
n
n n nn
所 以得 : 1 10 1
0 0
2
2 22 22
k
n n
k kk n
k k
n
nn nn
n
2. 已 知 *
n N
, 求证 : 7不 整除 1
2 n
.
分 析 : 同 余性 质
解 :
3
3
2 1(m od 7) 2 1(m od 7)
k
易
知 3 1 32
2 2(m od 7), 2 4(m od 7)
k
k
,
总
之 2 1(m od 7)
n
, 所 以 原命 题成 立 .
3 . 解 方程 :
2 2 2
c o s co s 2 co s 3 1
x xx
分 析: 降幂, 和差化 积 .
解 :
2
1 co s 1co s 4 2co s 3 2
x xx
,
和差 化积得 : 2
2 co s co s3 2co s 3 0
x x x
再 次和 差化积 co s co s 2 co s3 0
x xx
所
以 co s 0co s 2 0co s 3 0
x xx
或 或
当
且 仅当 2
2 ()
2 436
k
x k k k
或 或
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4
. 解 不等 式 :
2
4
2 9
( 1 12)
x
x
x
分 析 : 分 母有 理 化
解 : 易 知
1 2 0,1 12
x x
,
所 以 1
2
x
且 0
x ,
2
2
2
2
2 9
1 2 1
2 (1 2 1)
2 9
( 1 2 1)( 1 2 1)
( 1 2 1) 2 9
x
L H S x
x
x x
x
x x
x x
所 以
化 简 得: 4
5
2 1 2 7,
8
x
x
综
上 可得 : 1
45
, 0 (0 , )
2 8
x
2023年中山大学强基计划测试数学试题