江西省宜春市上高二中2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题（标准答案版）

2025 届高二年级第一次月考数学试卷 9.17 命题人： 游更生 一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数 z ＝（ 1+2 i ） 2 ﹣ 3 ，则 z 的实部为（　） A ．﹣ 6 i B ． -6 C ． 4 i D ． 4 2. 设 ， 是两条不同的直线， 是两个不同的平而，下列命题正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 3 ．设 ，其中 a 、 b 为实数，则（      ） A ． ， B ． ， C ． ， D ． ， 4. 正三棱锥底面边长为 ，高为 ，则此正三棱锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体 中， ．点 在 上，且 ，则 （    ） A ． B ． C ． D ． 6. 已知圆锥 的高为 ，它的侧面展开图是圆心角为 的扇形，则该圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知 四棱锥 P-ABCD 中，底面四边形 ABCD 为正方形，侧面 PAD 为正三角形，且侧面 PAD 垂直底面 ABCD, 若 PD= 则该四棱锥外接球的表面积为 ( 　　 ) A ． π a 2 B ． π a 2 C ． π a 2 D ． 5π a 2 8. 如图，在棱长为 a 的正方体 中，点 E 为棱 的中点，则点 C 到平面 的距离为（ ） A. B . C . D. 二､多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9. 已知复数 （ 为虚数单位），则下列说法正确的是（      ） A ． z 的虚部为 2 B ．复数 z 在复平面内对应的点位于第 二 象限 C ． z 的共轭复数 D ． 10. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径 2 R 相等，则下列结论正确的是（       ） A ．圆柱的侧面积为 B ．圆锥的侧面积为 C ．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D ．圆柱、圆锥、球的体积之比为 11. 设复数 z （ a ， b ∈ R 且 b ≠ 0 ），则下列结论正确的是（　） A ． z 可能是实数 B ． 恒成立 C ．若 z 2 ∈ R ，则 a ＝ 0 D ．若 ，则 | z | ＝ 1 12. 已知直三棱柱 中， 是 的中点， 为 的中点．点 是 上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 无论点 在 上怎么运动，都有 B. 当直线 与平面 所成的角最大时，三棱锥 的外接球表面积为 C. 若三棱柱 ，内放有一球，则球的最大体积为 D. 周长的最小值 三､填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 已知 ， ，则 向量 在 向量 上的投影 数 量为 14 . 如图，矩形 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 ， ，则原图形周长是 ________ 15. 已知 圆台的上、下底面的面积分别为 侧面积为 则这个圆台的体积是 1 6. 如图所示，在正方体 中， E 是棱 DD 1 的 三等分点（靠近 点）， 点 F 在棱 C 1 D 1 上，且 ， 若 ∥ 平面 ，则 四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17 ． （ 10 分） （ 1 ）已知复数 ， ，若 为纯虚数，求 的值； （ 2 ）已知复数 z 满足 ，求 a 的值 . 18. （ 12 分）如图，在平行六面体 中， E ， F 分别为棱 ， CD 的中点，满足 ， ， ， (1) 求 线段 EF 的长度 . (2) 求直线 AD 与直线 EF 夹角的余弦值。 19. （ 12 分） 已知向量 ， ，其中 ，函数 ，若函数 图象的两个相邻对称中心的距离为 . （ 1 ）求函数 的单调递增区间； （ 2 ）将函数 的图象先向左平移 个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来 的 2 倍，得到函数 的图象，当 时，求函数 的值域． 20. （ 12 分）如图，在四棱锥 中， ， 为棱 的中点， 平面 . (1) 证明： 平面 (2) 若 直线 PB 与平面 ABCD 的夹角为 ，求 二面角 A-PD-B 的大小。 （ 12 分） 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ．已知 ， B ＝ 150 °，△ ABC 的面积为 ． （ 1 ）求 a 的值； （ 2 ）求 的值． 22. （ 12 分）如图，四棱柱 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1 D 1 的底面 ABCD 为直角梯形，∠ DAB ＝∠ ADC ＝ 90 °， AB ＝ AD ＝ 1 ， CD ＝ 2 ， BD 1 ⊥ CD ．点 M 为 CD 1 的中点，且 CD 1 ＝ 2 BM ． （ 1 ）证明：平面 BDM ⊥平面 BCD 1 ； （ 2 ）若钝二面角 B ﹣ DM ﹣ C 的余弦值为 ，当 BD 1 ＞ BD 时，求直线 与平面 BCD 夹角的余弦值。 2025 届高二年级第一次月考数学试卷答案 9.17 B CDA B D B B 9. AB D 10. CD 11. BCD 12. ABD 13. -2 14. 14 15. 16. 17. （ 1 ） -2 （ 2 ） 2 18. 选择 为基向量 (1) (2) 19. 【答案】（ 1 ） ( k ∈Z ) ； （ 2 ） ． （ 1 ）根据题意，代入数量积公式表示出 ，然后化简得 ，利用周期计算得 ，利用整体法计算单调增区间；（ 2 ）利用平移变换得函数 的解析式，利用整体法计算