北京
市
西城
区
2
021-2022
学年
高二（上）期末
数
学
一、选择题共
10
小题，每小题
4
分，共
40
分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1
．（
4
分）已知直线
的一个方向向量为
，则直线
的倾斜角为
A
．
B
．
C
．
D
．
2
．（
4
分）在空间直角坐标系
中，点
，
5
，
关于
坐标平面的对称点为
A
．
，
5
，
B
．
，
，
C
．
，
5
，
D
．
，
，
3
．（
4
分）抛物线
的焦点坐标为
，则其准线方程为
A
．
B
．
C
．
D
．
4
．（
4
分）圆
与圆
的位置关系为
A
．外离
B
．外切
C
．相交
D
．内切
5
．（
4
分）在
的展开式中，
的系数为
A
．
B
．
C
．
5
D
．
10
6
．（
4
分）在长方体
中，
，
，则直线
与平面
所成角的大小为
)
A
．
B
．
C
．
D
．
7
．（
4
分）已知椭圆
，双曲线
，其中
．若
与
的焦距之比为
，则
的渐近线方程为
A
．
B
．
C
．
D
．
8
．（
4
分）将
4
名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球
3
个项目进行培训，每名志愿者只分到
1
个项目，每个项目至少分配
1
名志愿者，则不同的分配方案共有
A
．
48
种
B
．
36
种
C
．
24
种
D
．
12
种
9
．（
4
分）设抛物线的顶点为原点，焦点
在
轴上．过
的直线交抛物线于点
，则以
为直径的圆
A
．必过原点
B
．必与
轴相切
C
．必与
轴相切
D
．必与抛物线的准线相切
10
．（
4
分）如图，某市规划在两条道路边沿
，
之间建造一个半椭圆形状的主题公园，其中
为椭圆的短轴，
为椭圆的半长轴．已知
，
，
．为使
尽可能大，其取值应为（精确到
A
．
B
．
C
．
D
．
二、填空题共
5
小题，每小题
5
分，共
25
分。
11
．（
5
分）圆心为
且过原点的圆的方程是
．
12
．（
5
分）已知直线
，
．若
，则实数
．
13
．（
5
分）在正三棱柱
中，
，则直线
与
所成角的大小为
；直线
到平面
的距离为
．
14
．（
5
分）设双曲线
的两个焦点是
，
，点
在双曲线上，则
；若
为锐角，则点
的纵坐标的取值范围是
．
15
．（
5
分）如图，在正方体
中，过
的平面分别交
，
于点
，
．给出下列四个结论：
①
四边形
一定是平行四边形；
②
四边形
可能是正方形；
③
四边形
为菱形时，其面积最小；
④
四边形
为矩形时，其面积最大．
其中所有正确结论的序号是
．
三、解答题共
6
小题，共
85
分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16
．（
10
分）从
2
位女生，
4
位男生中选出
3
人参加垃圾分类宣传活动．
（
Ⅰ
）共有多少种不同的选择方法？
（
Ⅱ
）如果至少有
1
位女生入选，共有多少种不同的选择方法？
17
．（
15
分）如图，在长方体
中，
，
，点
在
上，且
．
（
Ⅰ
）求直线
与
所成角的余弦值；
（
Ⅱ
）求二面角
的余弦值．
18
．（
15
分）已知椭圆
的一个顶点为
，且离心率为
．
（
Ⅰ
）求椭圆
的方程；
（
Ⅱ
）直线
与椭圆
交于
，
两点，且
，求
的值．
19
．（
15
分）设
，
为两定点，
，曲线
是到点
的距离与到点
的距离之比为定值
的点组成的集合．
（
Ⅰ
）判断
的中点是否在曲线
上；
（
Ⅱ
）建立适当的平面直角坐标系，求曲线
的方程，并讨论曲线
的形状．
20
．（
15
分）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
为平行四边形，
，
．点
在
上，且
平面
．
（
Ⅰ
）证明：
；
（
Ⅱ
）求
的值；
（
Ⅲ
）求点
到平面
的距离．
21
．（
15
分）已知椭圆
，过点
的直线
交椭圆
于
，
两点．
（
Ⅰ
）证明：
；
（
Ⅱ
）已知两点
，
．记直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，求
的值．
参考答案
一、选择题共
10
小题，每小题
4
分，共
40
分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1
．【分析】根据已知条件，结合方向向量的定义，求出直线
的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系，即可求解．
【解答】解：
直线
的一个方向向量为
，
直线
的斜率
，
直线
的倾斜角为
．
故选：
．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2
．【分析】根据关于平面
对称的点的规律：横坐标、纵坐标保持不变，第三坐标变为它的相反数，即可求得答案．
【解答】解：由题意，关于平面
对称的点横坐标、纵坐标保持不变，第三坐标变为它的相反数，
从而有点
，
5
，
关于平面
对称的点的坐标为
，
5
，
，
故选：
．
【点评】本题以空间直角坐标系为载体，考查点关于面的对称，属于基础题．
3
．【分析】抛物线
的焦点坐标为
，可得
．即可得到抛物线的准线方程．
【解答】解：
抛物线
的焦点坐标为
，
．
抛物线的准线方程为：
．
故选：
．
【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，属于基础题．
4
．【分析】求出两个圆的圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断两个圆的位置关系．
【解答】解：
圆
的圆心
，半径为
1
；
圆
圆心坐标
，半径为：
3
，
两个圆的圆心距为：
2
，
又两个圆的半径差为：
，
两个圆的位置关系是内切．
故选：
．
【点评】本题考查圆的标准方程的应用
北京市西城区2021-2022学年高二（上）期末数学（原卷全解析版）
