学科 网（ 北 京）股 份有 限 公司
2
02 3 年 中国 科学 技术大 学 强基 计 划 数学 试题
6 月 11 日 考试时长 90 分 钟
本 次 考试 一 共 8道 试题 ， 4道 填空 题， 4道 解答题 ， 满 分 100 分 .
一 、 填空题 （20 分 ）
1. 二元函 数 2 2 ( , ) ( cos ) (2 3 sin ) f x y x y x y 的 值域 为____ __ __ .
2 . 设复数
z满 足 1 z ，且 1
1
z
z ， 则 2 2
1 4 的最小 值 为____ __ __ .
3 . 使得
2023 (1 2 )x 展 开式 中 nx 的 系数 最 大， 则正整 数 n的值为 __ __ __ __ .
4 . 已知四 条抛物 线
2 2 2 2 , , , y x a y x a x y a x y a 相邻 两条 都相 切， 则它
们 围 成的 封闭 图形 面积 为__ _ _ __ .
二 、 解答题 （每 题 20 分 ，共 80 分 ）
1. 已知实 系数函 数 3 2 ( ) f x x bx cx d ，当 1 1 x 时 ， ( ) 1 f x x 恒成立 ，证
明 ：
(
) 0
f x 的三个 根全部 为 实数 。
2 . 已知正 整数数 列
, n n a b 满 足 1 1 1 a b ，且 na 是 等 差数 列， nb 是等 比数 列 。数
列
n
c 满
足 ： n nn
c
ab
，若 存 在正 整数 k满足 2
3
7, 307
k k
c
c
，求 数 列 n
c 的
通
项 公 式，
3 . 一个 箱子 里有
m 个 黑 球和 n个白 球 ( ) m n ，从 箱 子中 不放 回的 每次 抽取 一个 球 ，直 到
取 完 。记
(
,)
P m n 为在 整个 取球 过程 中， 黑球 个数 始终 小于 白球 个数 的概 率， 求：
（ 1）
(
2 ,4 )
P 的 概 率值 ；
（ 2）
( ,)
P m n 的
表 达式 。
4 . 证明：
2 2
2 2 1
2
4 2
n
i
i n n
i n n
学 科 网（ 北 京）股 份有 限 公司 2
0 2 3 年 中国科学 技术 大 学强基 计划 数学试 题 解析
一 、 填 空题
1 .
1
4 65
0
5
，
解
析 ：原 式可 以看 作点 (
,2 3)
P x x 和 ( co s ,sin )
Q yy
的 距 离平 方， 数形 结合 得到
2
m ax max
3
14 65
( , ) 1 (, ) 0
5
5
f
x y fx y
，
2
. 答 案为 4
解 析： 设
( , )
z abi a b
，
那么 由 已知 可得 2 2
1
a b
，
以及
1
( 1)( 1)
1 1
( 1)( 1)
z
zz b
i ti
z a
z z
，
其中
2
2
;
1 1
b
b
t
a a
，
所 以
2
2 22
2 2
1
1
4 44
1
b
t
a t
，
当 且仅 当
2
1
1 2
b
a
时
取 等号 。
3 .
n
x系 数为 202 3 2
n
n
C ，
1
2 02 3 2
0 23 2 202 3 2
2
! ( 2 023 )! ( 1)!( 2 0 23 )!
n
n
n n
C
n nn n
！
！
所
以 1 2
2 023 1
n n
，
整 理 得 1 4046 2
n n
，
即 4 04 5
, 13 48
3
n
n
，所 以 当 134 9
n
时 134 9
x 系 数 最大 。
4 ． 方 法一 ：对 称性 +阿 基 米德 三角 形
根 据 对称 性知
,
y xy x
与 2
y x a
相
切 ，易 得 1
4
a
，
切 点为 1 1
2 2
， ，
阿 基米
德 三 角形 的面 积为
1
4
S
，
故 切线 与抛 物线 围成 的图 形面 积为 0 1
1 2
S
，
则 其总 面积 为
0 1
4
3
S
学 科 网（ 北 京）股 份有 限 公司
学 科 网（ 北 京）股 份有 限 公司
学 科 网（ 北 京）股 份有 限 公司
四
．（ 20 分 ）
一 个 箱子 里有
m 个 黑 球和 n个 白 球 (
)
m n
， 从 箱 子中 不放 回的 每次 抽取 一个 球 ，直 到 取完 。
记
( ,)
P m n 为
在 整个 取球 过程 中， 黑球 个数 始终 小于 白球 个数 的概 率， 求：
（ 1）
( 2 ,4 )
P 的
概 率值 ；
（ 2）
( ,)
P m n 的
表 达式 。
解 析 ：（ 1） 前 2个 一定 是 白球 ， 然后 第 2只 黑球 必 须再 第 5次 或者 第 6次 才能 被 摸出 。
所 以方 法数共 5种 ，所 以
1
( 2 ,4 )
3
P
；
（ 2）
学 科 网（ 北 京）股 份有 限 公司
学 科 网（ 北 京）股 份有 限 公司
2023年中国科学技术大学强基计划数学试题
