2023届重庆市高三上学期期中数学试题（解析版）免费下载

2023 届重庆市高三上学期期中数学试题 一、单选题 1 ．设集合 ， ，则 （      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 B 【分析】 先解不等式，求得集合 ，再由交集的运算法则，得解 . 【详解】 解： ， 所以 . 故选： B. 2 ．设 ， ， ，则（      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 B 【分析】 先利用导数证明出 ，令 ，可以判断出 最小；利用作商法比较出 ，即可得到答案 . 【详解】 设 . 因为 ， 所以当 时， ， 在 上单调递减， 当 时， ， 在 上单调递增， 所以当 ，且 时， ，即 ． 所以 ， ，所以 最小， 又因为 ，所以 ．综上可知， ． 故选： B 3 ．若存在实数 ， 使得函数 的图象的一个对称中心为 ，则 的取值范围为（      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 C 【分析】 由题意可得 ，则 ，再根据 ， ，即可得出答案 . 【详解】 解：由题意知，存在 在 使得 的一个对称中心为 ， 即存在 使得 时， ， 代入 ， 则 ， 即 ，即 ， 因为 ， ，所以 ，则 ， 由不等式性质知 时， 取到最小值 ， 又由于 无法取到 ，故 ， 所以 的取值范围为 . 故选： C. 4 ．已知正三棱柱的侧棱长为 ，底面边长为 ，若该正三棱柱的外接球体积为 ，当 最大时，该正三棱柱的体积为（      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 B 【分析】 由外接球半径体积可得外接球半径 ，根据勾股定理 ，设 ，根据可行域可得当直线 与曲线 相切时 最大，联立令 解出 的值即可 . 【详解】 因为正三棱柱外接球的体积为 ，所以 ， 设球心为 ，底面外接圆圆心为 ，由正三棱锥可得 ，底面外接圆半径 ， 所以由勾股定理得 ， 设 ，当直线 与曲线 相切时， 最大， 联立方程组 得 ， 由 ，得 或 （舍去），此时 ， ， 所以正三棱柱的体积 ， 故选： B 5 ．在 中，内角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ， ， ， ，则线段 CD 长度的最小值为（      ） A ． 2 B ． C ． 3 D ． 【答案】 D 【分析】 本题通过正弦定理得到 ，再通过余弦定理得到 ，对向量式整理得 ，通过平方，将向量关系转化为数量关系即 ，利用基本不等式即可求解 . 【详解】 解：由 及正弦定理， 得 ，即 ， 由余弦定理得， ， ∵ ， ∴ ． 由 ， ， 两边平方，得 即 ， 当且仅当 ，即 时取等号，即 ， ∴ 线段 CD 长度的最小值为 ． 故选： D ． 6 ．如图，棱长为 1 的正方体 中， 为线段 的中点， 、 分别为体对角线 和棱 上任意一点，则 的最小值为（        ） A ． B ． C ． D ． 2 【答案】 D 【分析】 通过证明