2022-2023学年浙江省杭州市萧山区高二年级上学期期中数学试题（全解析版）

2022-2023 学年浙江省杭州市萧山区高二年级 上学期 期中 数学 考试 一、单选题（本大题共 8 题，每题 5 分，共 40 分） 直线 的倾斜角为 (    ) A. B. C. D. 设 i 是虚数单位，复数 ，则 (    ) A. 1 B. C. D. 2 在 中，已知 ， ， ，则 AB 等于 (    ) A. 1 B. C. D. 已知圆锥的侧面积 单位： 为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积 单位： 是 (    ) A. B. C. D. 已知 m 和 n 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，则下列命题正确的是 (    ) A. ， ，则 B. ， ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则 已知向量 ， 满足 ， ，则 在 上的投影向量的坐标为 (    ) A. B. C. D. 已知 ， ， ，则点 A 到直线 BC 的距离为 (    ) A. B. 1 C. D. 柜子里有 3 双不同的鞋子，如果从中随机地取出 2 只，那么取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双的概率为 (    ) A. B. C. D. 二、多选题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 设复数 ，下列说法正确的是 (    ) A. z 的虚部是 y B. C. 若 ，则 z 为纯虚数 D. 若 z 满足 ，则 z 在复平面内的对应点 的轨迹是圆 如图，在棱长为 1 的正方体 中，下列选项正确的是 (    ) A. 异面直线 与 所成的角为 B. 三棱锥 的体积为 C. 直线 平面 D. 二面角 的大小为 在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字 1 ， 2 ， 3 ， 4 连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件 A 为 “ 两次记录的数字之和为偶数 ” ，事件 B 为 “ 第一次记录的数字为偶数 ” ; 事件 C 为 “ 第二次记录的数字为偶数 ” ，则下列结论正确的是 (    ) A. 事件 B 与事件 C 是互斥事件 B. 事件 A 与事件 B 是相互独立事件 C. 事件 B 与事件 C 是相互独立事件 D. 已知圆 ，点 P 是圆 C 上的一个动点，点 ， ，则下列选项中正确的是 (    ) A. B. 的最大值为 C. 的最大值为 12 D. 的最大值为 9 三、填空题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 已知向量 ， ， 若 ，则 __________ 写出过点 ，且在两坐标轴上截距相等的一条直线方程 __________. 已知圆 ，以点 为圆心，半径为 r 的圆与圆 C 有公共点，则 r 的取值范围为 __________. 已知直四棱柱 ，底面 ABCD 为平行四边形， ， ， ， ，以 为球心，半径为 2 的球面与侧面 的交线的长度为 __________. 四、解答题（本大题共 6 题，共 70 分） 已知直线 求证：直线 l 过定点，并求出此定点 ; 求点 到直线 l 的距离的最大值 . 杭州市某高中从学生中招收志愿者参加迎亚运专题活动，现已有高一 540 人、高二 360 人，高三 180 人报名参加志愿活动 . 根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取 120 名 . 对抽出的 120 名同学某天参加运动的时间进行了统计，运动时间均在 至 分钟之间，其频率分布直方图如下： 需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人 ? 请补全频率分布直方图 ; 求这 120 名学生运动时间的第 80 百分位数是多少 ? 袋中有形状、大小都相同的 4 个小球，标号分别为 1 ， 2 ， 3 ， 从袋中一次随机摸出 2 个球，求标号和为奇数的概率 ; 从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次。甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜。你认为此游戏是否公平 ? 说明你的理由 . 如图，四棱锥 的底面为正方形， 底面 设平面 平面 证明： 平面 若 ，求直线 l 与平面 PAC 所成角的正弦值 . 已知圆 C 的半径为 3 ，圆心 C 在射线 上，直线 被圆 C 截得的弦长为 求圆 C 方程 ; 过点 的直线 l 与圆 C 交于 M 、 N 两点，且 的面积是 为坐标原点 ，求直线 l 的方程 . 图 1 是直角梯形 ABCD ， ， ， ， ， ， 以 BE 为折痕将 折起，使点 C 到达 的位置，且 ，如图 证明： 求二面角 余弦值 . 答案和解析 1. 【答案】 A   【解析】解：由直线 ，即 可得直线的斜率为 ，即 ， 所以直线的倾斜角为    2. 【答案】 B   【解析】解： ，则   3. 【答案】 B   【解析】解： ，由正弦定理， ， ，    4. 【答案】 C   【解析】解： 圆锥侧面展开图是半圆，面积为 ， 设圆锥的母线长为 a ，则 ， ， 侧面展开扇形的弧长为 ， 设圆锥的底面半径 ，则 ，解得 ，则这个圆锥的体积为   5. 【答案】 D   【解析】解：由题意可知，在 A 中，若 ， ，则 m 与 相交或平行或 ， A 错； 在 B 中，若 ， ， ，则 或 m 与 n 异面， B 错； 在 C 中，若 ， ，则 n 与 相交或平行或 ， C 错； 在 D 中，若 ， ，则 ， D 正确 .    6. 【答案】 B   【解析】解： 在 上的投影向量的坐标为    7. 【答案】 A   【解析】解：    8. 【答案】 C   【解析】解：分别用 ， ， ， ， ， 表示 6 只鞋，则可能发生的情况有 15 种， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双的事件有 6 种， ， ， ， ， ， ，   9. 【答案】 AD   【解析】解：由复数的概念知， A 正确； ，故 B 不正