2023届河北省河间市第一中学高三上学期开学考试数学试题（解析版）

2023 届河北省河间市第一中学高三上学期开学考试数学试题 一、单选题 1 ．已知集合 ， ，若 ，则 （      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 B 【解析】先求出集合 ，再利用 可以求出 的值，即可求出集合 ，进行并集计算即可 . 【详解】 , 因为 ，所以 ， 所以 ，解得： ， 解方程 得： 或 ， 所以 ， 所以 故选： B 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及利用单调性解指数不等式，属于基础题 . 2 ．若 ，则下列不等式错误的是（      ） . A ． B ． C ． D ． 【答案】 B 【分析】 根据不等式的性质逐项判断即可 . 【详解】 解：对 A ， ， ，故 A 正确； 对 B ， ， ， 即 ， ，故 B 错误； 对 C ， ， ， 即 ， 即 ，故 C 正确， 对 D ， ， ， 即 ，即 ，故 D 正确 . 故选： B. 3 ．已知函数 ，若 ，则 （      ） A ． B ． C ． 1 D ． 2 【答案】 C 【解析】构造奇函数，根据函数奇偶性，求得 ，即可代值求得结果 . 【详解】 因为 是奇函数， 又 ， 故可得 ∴ . 故选： C. 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及正弦函数的奇偶性，属综合简单题 . 4 ．已知 ，则 （      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 D 【解析】换元 ，可得出 ，利用诱导公式以及二倍角余弦公式可求得所求代数式的值 . 【详解】 换元 ，可得 ，且 ， 所以， . 故选： D. 5 ．在 中， ， ， ， 分别是斜边 上的两个三等分点，则 （      ） A ． 6 B ． 8 C ． 9 D ． 10 【答案】 D 【解析】以点 为原点建立直角坐标系，写出向量 的坐标，结合向量的数量积的坐标运算公式，即可求解 . 【详解】 如图所示，以点 为原点建立直角坐标系， 则可设点 ， ，所以 ， ， 所以 . 故选： D. 6 ．在等差数列 中， ，其前 项和为 ，若 ，则 等于（      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 B 【分析】 由等差数列性质可知数列 为等差数列，由已知等式可求得其公差 ，结合等差数列通项公式可求得 ，进而得到结果 . 【详解】 数列 为等差数列， 数列 为等差数列，设其公差为 ， 又 ，解得： ，又 ， ， . 故选： B. 7 ．鳖臑（ biē nào ）是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥 A - BCD 是一个鳖臑，其中 AB ⊥ BC ， AB ⊥ BD ， BC ⊥ CD ，且 AB ＝ 6 ， BC ＝ 3 ， DC ＝ 2 ，则三棱锥 A - BCD 的外接球的体积是（      ） A ． B ． C ． 49 π D ． 【答案】 D 【解析】将三棱锥 A - BCD 可放在长方体中确定直径 AD ，计算即得结果 . 【详解】 依题意，