河北省邢台市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试卷（原卷+全解析版）

绝密★启用前 2022-2023 学年河北省邢台市高二（上）期末数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷（选择题） 一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知双曲线 ： 的焦点到渐近线的距离为 ，则双曲线 的离心率为 (    ) A. B. C. D. 2. 已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 (    ) A. B. C. D. 3. 平行六面体 中，若 ，则 (    ) A. B. C. D. 4. 某地全域旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据可得该椭圆的焦距为 (    ) A. B. C. D. 5. 在长方体 中， ， ，则 (    ) A. B. C. D. 6. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图 、 、 、 为四个简单的图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮 现按同样的规律 小正方形的摆放规律相同 摆放，设第 个图形包含 个小正方形，则 (    ) A. B. C. D. 7. 已知点 ，抛物线 ： 的焦点为 ，射线 与抛物线 相交于点 ，与其准线交于点 ，若 ，则 (    ) A. B. C. D. 8. 南宋数学家杨辉在 详解九章算法 和 算法通变本末 中提出了一些新的垛积公式 所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列 如数列 ， ， ， ，它的前后两项之差组成新数列 ， ， ，新数列 ， ， 为等差数列，数列 ， ， ， 被称为二阶等差数列 已知数列 ， ， ，且 ，则下列结论中不正确的是 (    ) A. 数列 为二阶等差数列 B. C. 数列 为二阶等差数列 D. 数列 的前 项和为 二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分。在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知 的圆心在直线 上，且 过点 ， ，直线 ： ，则下列结论中正确的是 (    ) A. 的方程为 B. 圆心 到直线 的距离的最大值为 C. 若直线 与 相切，则 或 D. 若直线 被 所截得的弦长为 ，则 10. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， 为 的中点，则 (    ) A. 直线 与 所成角的余弦值为 B. C. D. 点 到直线 的距离为 11. 已知椭圆 的右焦点为 ，过 作 轴的垂线交椭圆 于点 在第一象限 ，直线 是坐标原点 与椭圆 另交于点 ，直线 与椭圆 另交于点 ，若 ，直线 ， ， 的斜率分别记为 ， ， ，椭圆 的离心率为 ，则 (    ) A. B. C. D. 12. 若正整数 ， 只有 为公约数，则称 ， 互质 对于正整数 ， 是小于或等于 的正整数中与 互质的数的个数 函数 以其首名研究者欧拉命名，被称为欧拉函数，例如 ， ， ，则 (    ) A. ， ， 成等差数列 B. 数列 是等比数列 C. 数列 的前 项和为 ，则存在 ，使 成立 D. 数列 的前 项和为 ，则对任意 ， 恒成立 第 II 卷（非选择题） 三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则        ． 14. 已知平面 的一个法向量为 ，点 在平面 内，则点 到平面 的距离为        ． 15. 在数列 中， ， ，若 ，则 的一个值可能是        ． 16. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名 他发现：平面内到两个定点 ， 的距离之比为定值 的点的轨迹是圆 后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆 已知在平面直角坐标系 中， ， ， 是满足 的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为        ；若点 为抛物线 ： 上的动点，抛物线 的焦点为 ，则 的最小值为        ． 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 本小题 分 已知抛物线 ： ，直线 与抛物线 交于 ， 两点，且 ， 是坐标原点． 证明：直线 过定点； 求 面积的最小值． 18. 本小题 分 如图，在直三棱柱 中，已知 ， ， ． 证明： ； 求直线 与平面 所成角的正弦值． 19. 本小题 分 已知 是数列 的前 项和， ， ， 的等差中项为 ． 求 的通项公式； 若 ，求数列 的前 项和 ． 20. 本小题 分 如图所示，在多面体 中，四边形 ， ， 均为正方形， 为 的中点，过 ， ， 的平面交 于 ． Ⅰ 证明： ； Ⅱ 求二面角 的余弦值． 21. 本小题 分 已知递增数列 满足 ， ． 求 的通项公式； 若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ． 22. 本小题 分 已知 ， ，动点 满足直线 与 的斜率之积为 ． 求动点 的轨迹 的方程； 过原点 作直线 ，直线 被曲线 截得的弦长为 ，将直线 向左、右分别平移 个单位长度得到直线 ， ，且直线 ， 被曲线 截得的弦长分别为 ， ，证明： ． 答案和解析 1. 【答案】   【解析】解：设双曲线