三、数列(高考真题分类汇编）——三年（2021-2023）高考数学真题精编专辑（共七份）

三 、 数列 —— 三年（ 2021-2023 ）高考数学创新真题精编 1. 【 2023 年天津卷】 已知 数列 是等差数列， ， . ( 1 ) 求 的通项公式和 ； ( 2 ) 已知 为等比数列，对于任意 ，若 ，则 . (i) 当 时，求证： ； (ii) 求 的通项公式及其前 n 项和 . 2. 【 2023 年上海卷】 国内生产总值 (GDP) 是衡量一个国家或地区经济状况和发展水平的重要指标 . 根据统计数据显示，某市在 2020 年间经济高质量增长， GDP 稳定增长，第一季度和第四季度的 GDP 分别为 232 亿元和 241 亿元，且四个季度的 GDP 逐季度增长，中位数与平均数相等，则该市 2020 年的 GDP 总额为 ________ 亿元 . 3. 【 2023 年新课标Ⅱ卷】 已知 为等差数列， . 记 ， 分别为数列 ， 的前 n 项和，若 ， . (1) 求 的通项公式； (2) 证明：当 时， . 4. 【 2022 年北京卷】 设 是公差不为 0 的无穷等差数列，则 “ 为递增数列 ” 是 “ 存在正整数 ，当 时， ” 的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 【 2022 年北京卷】 已知数列 的各项均为正数，其前 n 项和 满足 . 给出下列四个结论： ① 的第 2 项小于 3 ； ② 为等比数列； ③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项 . 其中所有正确结论的序号是 ______. 6. 【 2022 年浙江卷】 已知数列 满足 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 7. 【 2022 年上海卷】 已知等差数列 的公差不为零， 为其前 n 项和，若 ，则 中不同的数值有 __________ 个 . 8. 【 2022 年上海卷】 已知无穷数列 中， ， ，若对于任意的正整数 ，都存在正整数 ，使得 . （ 1 ）求 的所有可能值 . （ 2 ）已知命题 p ：若 ， ， ， … ， 成等差数列，则 . 证明命题 p 为真命题，同时写出命题 p 的逆命题 q ，若命题 q 是真命题，则证明之；若命题 q 是假命题，请举反例 . （ 3 ）若对于任意的正整数 m ，都有 成立，求数列 的通项公式 . 9. 【 2021 年天津卷】 已知 是公差为 2 的等差数列，其前 8 项和为 64. 是公比大于 0 的等比数列， ， . （ Ⅰ ）求 和 的通项公式； （ Ⅱ ）记 ， . （ i ）证明 是等比数列； （ ii ）证明 . 10. 【 2021 年上海卷】 已知 ，对任意的 ， 或 中有且仅有一个成立，且 ， ，则 的最小值为 ___________. 答案以及解析 1. 答案： (1) (2)(i) 证明见解析 (ii) 通项公式 ，前 n 项和为 解析： (1) 设 的公差为 d ， 由 ，得 ，解得 ， 所以 的通项公式为 . ， . 从 到 共有 ( 项 ). 所以 . ( 或 ). (2)(i) 因为当 时， ， 所以当 时， ， 可得 . 因为 为递增数列，所以若 ，则 ，得 . 同理可得 . 故可得 ， 所以 . 综上，当 时， . (ii) 由题意知 是 的正项等比数列， 设 的通项公式为 ( ， 且 ) ， 由 (i) 知， ，即 ， 则有 . ① 当 ，即 时， ，使得 ，与 矛盾； ② 当 ， ，即 且 时， ，使得 ，与 矛盾 . 故 . 因为 ，所以 . 设 的前 n 项和为 ，则 . 2. 答案： 946 解析：依题意，将 2020 年四个季度的 GDP 数据分别记为 ， ， ， ，则 ， ，四个季度 GDP 数据的中位数为 ，平均数为 ，则 ， ，故该市 2020 年的 GDP 总额为 ( 亿元 ). 3. 答案： (1) (2) 证明见解析 解析： (1) 设等差数列 的公差为 d . 因为 ， 所以 ， ， . 因为 ， ， 所以 ， 整理，得 ，解得 ， 所以 的通项公式为 . (2) 由 (1) 知 ， 所以 . 当 n 为奇数时， . 当 时， ， 所以 . 当 n 为偶数时， . 当 时， ， 所以 . 综上 . 可知，当 时， . 4. 答案： C 解析： 设无穷等差数列 的公差为 ，则 ，若 为递增数列，则 ，则存在正整数 ，使得当 时， ，所以充分性成立；若存在正整数 ，使得当 时， ，即 ，对任意的 ， 均成立，由于 时， ，且 ，所以 ， 为递增数列，必要性成立 . 故选 C. 5. 答案： ①③④ 解析： 因为 ，所以 ，又 ，所以 ， ，即 ，得 ，所以 ① 正确；当 时，由 ，得 ，两式作差可得 ，即 ，整理得 ，若数列 为等比数列，则当 时， 为常数，即数列 从第 2 项起各项均为同一个常数，易知当 时不成立，以 ② 不正确；因为 ，所以 ，由数列 的各项均为正数，得 ，所以 ，所以 ③ 正确；对于 ④ ，若数列 的所有项均大于等于 ，取 ，由 且 ，得 ，所以 ，与已知矛盾，所以 ④ 正确 . 综上，所有正确结论的序号是 ①③④ . 6. 答案： B 解析： 因为 ， ，所以 ，易知 ，所以有 ，所以可得 . 由 ，可得 ，即 . 一方面，由 ，累加可得 （ * ），所以 ，从而 . 另一方面，由（ * ）式可得 ，所以 ，又 ，所以 ，由 ，累加可得 ，所以 ，所以 . 综上可知， . 故选 B. 7. 答案： 98 解析：设等差数列 的公差为 ，则 ， ，即 ， . 列举 的前几项， ， ， ， ， ， ， ，则 ， ， ， ， ， ， . ， ， . 当 ， 时，易知 单调递增；当 ， 时，易知 单调递减 . 中不同的数值有 ( 个 ). 8 、 （ 1 ）答案： 或 9 解析：当 时， ， 当 时， ， 或 . 或 9. （ 2 ）答案：见解析 解析：若 ， ， ， … ， 成等差数列， 则 ， （ ， ） . ， ， 因此命题 p 为真命题 .