2023-2024学年湖南省常德市汉寿县第一中学高二下学期入学考试数学试题（解析版）

2023-2024 学年湖南省常德市汉寿县第一中学高二下学期入学考试数学试题 一、单选题 1 ．函数 在区间 上的平均变化率为（      ） A ． 1 B ． 2 C ． D ． 0 【答案】 A 【分析】 根据平均变化率的计算即可求解 . 【详解】 在区间 上的平均变化率为 ， 故选： A 2 ． （      ） A ． B ． 1 C ． D ． 2 【答案】 C 【分析】 按完全平方公式展开后，结合同角的三角函数关系以及二倍角正弦公式，即可求得答案 . 【详解】 ， 故选： C 3 ．若数列 满足 ， ，则 （      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 A 【分析】 用累乘法求出数列 的通项公式，进而求出 . 【详解】 解：由题意， ， 在数列 中， ， ∴ . 故选： A. 4 ．已知三棱锥 O - ABC 中，点 M 、 N 分别为 AB 、 OC 的中点，且 ， ， ，则 （      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 D 【分析】 根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解 . 【详解】 如图所示，连接 ，可得 . 故选： D. 5 ．设抛物线 上一点 到 轴的距离为 ，到直线 的距离为 ，则 的最小值为（      ） A ． 3 B ． 2 C ． D ． 5 【答案】 B 【分析】 求出抛物线的焦点坐标及准线方程，利用抛物线定义及点到直线的距离公式求解即得 . 【详解】 抛物线 的焦点 ，准线 ， 过点 作 于 ， 垂直于直线 于点 ，显然 ， 点 到直线 的距离 ， 则 ， 当且仅当点 是点 到直线 的垂线段与抛物线的交点时取等号， 所以 的最小值为 2. 故选： B    6 ．若直线 与直线 互相平行，那么 的值等于（      ） A ． 1 或 0 B ． C ． 0 D ． 0 或 【答案】 D 【解析】 根据题意，由直线平行的判定方法可得 ，解可得 的值，即可得答案． 【详解】 解：根据题意，如果直线 与直线 互相平行， 则有 ， 解得 或 ； 故选： ． 【点睛】 本题考查直线的一般式方程的应用，涉及直线平行的判定，属于基础题． 7 ．如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点．现有 17 米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为 3 米，则最小的正三角形的边长为（      ） A ． 米 B ． 米 C ． 米 D ． 米 【答案】 B 【分析】 根据题意，构造正三角形周长满足的等比数列，结合等比数列前 项和公式及指数不等式进行求解 . 【详解】 由题可知，该三角形蜘蛛网中三角形的周长从大到小是以 9 为首项， 为公比的等比数列 . 设最小的正三角