2024
届广东省中山市第一中学高三第二次调研数学试题
一、单选题
1
．已知复数
，
（
），若
为纯虚数，则
的值为（
）
A
．
2
B
．
1
C
．
0
D
．
【答案】
A
【分析】
按照复数的乘法法则，计算
，只需保证复数
实部为
，虚部不为
即可
.
【详解】
由于复数
，
，
则
，
若
为纯虚数，只需
，
解得
.
故选：
A.
2
．已知正方形
的边长为
4
，
为
边的中点，
为
边上一点，若
，则
=
A
．
5
B
．
3
C
．
D
．
【答案】
A
【分析】
先由题意，以
点为坐标原点，分别以
所在直线方向为
轴、
轴建立平面直角坐标系，得到
各点坐标，再设
点坐标，根据题意求出
点坐标，即可得出结果
.
【详解】
因为四边形
为正方形，以
点为坐标原点，分别以
所在直线方向为
轴、
轴建立如图所示的平面直角坐标系，
因为正方形
的边长为
4
，
为
边的中点，
所以
，
又
为
边上一点，所以设
，
则
，
，
又
，所以
，解得
，
所以
.
故选
A
【点睛】
本题主要考查已知数量积求向量的模的问题，熟记坐标系的方法求解即可，属于常考题型
.
3
．已知集合
，集合
，则
（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【答案】
B
【分析】
求得集合
后，与集合
进行交运算即可
.
【详解】
令
，
解得
，
所以
，
又
，
故
，
故选：
B.
4
．已知
，
，则
“
”
是
“
”
的（
）
A
．充要条件
B
．充分不必要条件
C
．必要不充分条件
D
．既不充分也不必要条件
【答案】
C
【分析】
运用诱导公式，和充分必要条件的定义判断求解
【详解】
，
，
，
，
，即
成立
反之
,
，若
，则
不成立
所以
“
”
是
“
”
成立的必要不充分条件，
故选
:C
5
．已知等比数列
的公比为
，
为其前
n
项和，且
，则当
取得最大值时，对应的
为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【答案】
B
【分析】
利用等比数列通项公式、前
n
项和公式及已知得
，应用基本不等式求最大值，并确定取值条件即可
.
【详解】
由题设
，
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以当
取得最大值时，对应的
为
3.
故选：
B
6
．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气
.
按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应不超过
.
经测定，刚下课时，空气中含有
的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为
，且
随时间
（单位：分钟）的变化规律可以用函数
描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参
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