2023-2024学年上海市进才中学高二上学期9月月考数学试题（解析版）免费下载

2023-2024 学年上海市进才中学高二上学期 9 月月考数学试题 一、填空题 1 ．已知复数 ， 为虚数单位，则 的虚部是 . 【答案】 / 【分析】 利用复数的除法法则及复数的概念即可求解 . 【详解】 ， 所以 的虚部是为 . 故答案为： . 2 ．已知 、 为单位向量，且 ，则 ， 的夹角为 ． 【答案】 / 【分析】 根据两个向量夹角的余弦公式求得结果 . 【详解】 由 两边平方得 ， 又 ，所以 ， 所以 ， 又 ，所以 . 故答案为： . 3 ．已知复数 满足 ，则 （ 为虚数单位）的最大值为 ． 【答案】 6 【分析】 由复数的几何意义求解即可 . 【详解】 设 ( 为实数 ) ， 则复数 满足 的几何意义是以原点为圆心，以 1 为半径的圆上的点， 则 表示的几何意义是圆上的点到 的距离， 根据圆的性质可知，所求最大值为 . 故答案为： 6. 4 ．函数 的单调增区间是 . 【答案】 【分析】 根据正切函数的单调性即可得出答案 . 【详解】 解：令 ， 得 ， 所以函数 的单调增区间是 . 故答案为： . 5 ．在 中， ， ，则 的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】 由正弦定理化角为边得 ，再代入另一已知条件得 ，从而得三角形形状． 【详解】 由正弦定理 ，所以 ， 代入 得 ， ∴ ， 所以 ，三角形为等边三角形， 故答案为：等边三角形． 6 ．设平面向量 ， 满足 ， ，则 在 方向上的数量投影为 . 【答案】 6 【分析】 根据投影的定义即可结合数量积求解 . 【详解】 在 方向上的数量投影 ， 故答案为： 6 7 ．若 ，则 . 【答案】 【分析】 根据切化弦可得 ，即可由余弦的二倍角公式求解 . 【详解】 由 可得 ， 所以 ， 故答案为： 8 ．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 取最小值时， ． 【答案】 13 【分析】 根据 ，利用等差数列前 n 项和公式推得 ，结合 判断 ，再结合等差数列性质可推出 ，即可求得答案 . 【详解】 由题意知 ， ，设等差数列 的公差为 d ， 则 ，即 ， 因为 ，故 ，即等差数列 为首项是负值的递增数列， 又由 可得 ， 即 ，故 ， 即等差数列 前 13 项为负，从第 14 项开始为正， 故 取最小值时， ， 故答案为： 13 9 ．已知函数 ，如图， ， 是直线 与曲线 的两个交点，若 ， . 【答案】 / 【分析】 根据已知条件及三角方程的解法，利用函数值的定义及诱导公式，结合特殊角对应的三角函数值即可求解 . 【详解】 设 ， ，则 由 ，可得 ， 令 ，结合图象可得， ， ，