北京市
通州
区
2021-2022
学年
高三（上）期末
数
学
一、选择题共
10
小题，每小题
4
分，共
40
分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1
．（
4
分）已知集合
，
0
，
1
，
，
，则
A
．
，
0
，
1
，
2
，
B
．
，
0
，
C
．
，
D
．
，
2
．（
4
分）复数
在复平面内对应的点位于
A
．第一象限
B
．第二象限
C
．第三象限
D
．第四象限
3
．（
4
分）双曲线
的渐近线方程是
A
．
B
．
C
．
D
．
4
．（
4
分）已知数列
是公比为正数的等比数列，
是其前
项和，
，
，则
A
．
31
B
．
63
C
．
127
D
．
255
5
．（
4
分）
“
直线
与直线
没有公共点
”
是
“
”
的
A
．充分不必要条件
B
．必要不充分条件
C
．充分必要条件
D
．既不充分也不必要条件
6
．（
4
分）若
，则下列不等式成立的是
A
．
B
．
C
．
D
．
7
．（
4
分）函数
是
A
．奇函数，且最大值为
2
B
．奇函数，且最大值为
1
C
．偶函数，且最大值为
2
D
．偶函数，且最大值为
1
8
．（
4
分）北京
2022
年冬奥会吉祥物
“
冰墩墩
”
和冬残奥会吉祥物
“
雪容融
”
一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了宣传
2022
年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等
5
名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为
A
．
8
B
．
10
C
．
12
D
．
14
9
．（
4
分）经过点
的直线与圆
交于
，
两点，则
面积的最大值为
A
．
B
．
C
．
10
D
．
10
．（
4
分）中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种茶用
的水泡制，再等到茶水温度降至
时饮用，可以产生最佳口感．某研究人员在室温下，每隔
测量一次茶水温度，得到数据如下：
放置时间
0
1
2
3
4
5
茶水温度
85.00
79.00
73.60
68.74
64.37
60.43
为了描述茶水温度
与放置时间
的关系，现有以下两种函数模型供选择：
①
，
，
，
②
，
，
．
选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为
（参考数据：
，
A
．
B
．
C
．
D
．
二、填空题共
5
小题，每小题
5
分，共
25
分。
11
．（
5
分）抛物线
的焦点坐标为
．
12
．（
5
分）最小正周期为
2
的函数的解析式可以是
．（写出一个即可）
13
．（
5
分）如图，圆锥
的体积为
，过
的中点
作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，设圆柱体积为
，则
．
14
．（
5
分）已知平面向量
，
的夹角为
，且
，
，则
的值为
，
的最小值为
．
15
．（
5
分）已知函数
，给出下列四个结论：
①
若
，则
有一个零点；
②
若
，
，则
有三个零点；
③
，
在
上是增函数；
④
，使得
在
上是增函数．
其中所有正确结论的序号是
．
三、解答题共
6
小题，共
85
分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16
．（
14
分）在
中，
，
．再从条件
①
、条件
②
、条件
③
这三个条件中选择一个作为已知，使
存在且唯一确定，并解决下面的问题：
（
Ⅰ
）求角
的大小；
（
Ⅱ
）求
的面积．
条件
①
：
；
条件
②
：
；
条件
③
：
．
17
．（
14
分）如图，在长方体
中，
，
．
（
Ⅰ
）求证：
平面
；
（
Ⅱ
）求平面
与平面
夹角的余弦值；
（
Ⅲ
）求点
到平面
的距离．
18
．（
14
分）人类常见的遗传病类型主要分为单基因遗传病、多基因遗传病和染色体异常遗传病三大类，高度近视
度以上）、红绿色盲都是较常见的单基因遗传病．某学校课后实践活动对学生这两种遗传病情况进行统计，分别从男、女同学中各随机抽取
100
人进行调查，对患病情况统计如下，其中
“
”
表示是，
“
”
表示否．
人数
男生
高度近视
红绿色盲
3
2
1
1
2
（
Ⅰ
）分别估计该校男生红绿色盲的发病率和该校女生红绿色盲的发病率；
（
Ⅱ
）为做家庭访问，从已调查出患红绿色盲的同学中任选两人，记这两人中男同学人数为
，求
的分布列及数学期望；
（
Ⅲ
）假设已知该校男生人数为
1500
，女生人数为
2500
，试估计该校学生的高度近视发病率
与该校学生红绿色盲发病率
的大小关系，并说明理由．
（注：某种遗传病发病率
19
．（
14
分）已知函数
．
（
Ⅰ
）若
，求曲线
在点
，
处的切线方程；
（
Ⅱ
）求
的单调区间与极值．
20
．（
14
分）已知椭圆
过点
，离心率为
．
（
Ⅰ
）求椭圆
的方程；
（
Ⅱ
）直线
与椭圆交于
，
两点，过
，
作直线
的垂线，垂足分别为
，
，点
为线段
的中点，
为椭圆
的左焦点．求证：四边形
为梯形．
21
．（
15
分）已知数列
满足以下条件：
①
，且
；
②
共有
100
项，且各项互不相等．定义数列
，
，
，
，
，
2
，
3
，
，
为数列
的一个
“10
阶连续子列
”
．
（
Ⅰ
）若
的通项公式为
，写出
的一个
“10
阶连续子列
”
，并求其各项和；
（
Ⅱ
）求证：对于每个
，都至少有一个
10
阶连续子列的各项
北京市通州区2021-2022学年高三（上）期末数学试题（原卷全解析版）
