2023-2024学年江西省宜春市宜丰县宜丰中学高三上学期9月月考数学试题 (原卷全解析版）

2023-2024 （上） 江西省宜丰中学 创新部高 三 9 月月考 数学试卷 一、单选题 （ 40 分） 1 ． “ ” 是 “1 ， ， 9 成等比数列 ” 的（      ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2 ．已知等比数列 的各项均为正数，目 ，则 （      ） A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6 3 ．在等差数列 中， ，其前 n 项和为 ，若 ，则 （      ） A ． -4040 B ． -2020 C ． 2020 D ． 4040 4 ．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题： “ 某贾人擅营，月入益功疾（注：从第 2 个月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），第 3 月入 25 贯，全年（按 12 个月计）共入 510 贯 ” ，则该人第 12 月营收贯数为（      ） A ． 64 B ． 66 C ． 68 D ． 70 5 ．记 为数列 的前 项和．若 ，则（      ） A ． 有最大项， 有最大项 B ． 有最大项， 有最小项 C ． 有最小项， 有最大项 D ． 有最小项， 有最小项 6 ．记 为等比数列 的前 n 项和，若 ， ，则 （      ）． A ． 120 B ． 85 C ． D ． 7 ．已知定义数列 为数列 的 “ 差数列 ” ，若 的 “ 差数列 ” 的第 项为 ，则数列 的前 2023 项和 （      ） A ． B ． C ． D ． 8 ．已知首项为 ，公差为 的等差数列 的前 n 项和为 ，若存在 ， 使得： ， ，则下列说法不正确的是（       ） A ． B ． C ． D ． 二、多选题 (20 分） 9 ．已知等差数列 的前 n 项和为 ，公差 ．若 ，则（      ） A ． B ． C ． D ． 10 ．已知数列 是等比数列，则下列结论中正确的是（      ） A ．数列 是等比数列 B ．若 ， ，则 C ．若数列 的前 n 项和 ，则 D ．若 ，则数列 是递增数列 11 ．下列命题中，正确的有（      ） A ．数列 中， “ ” 是 “ 是公比为 2 的等比数列 ” 的必要不充分条件 B ．数列 的通项为 ，若 为单调递增数列，则 C ．等比数列 中， ， 是方程 的两根，则 D ．等差数列 ， 的前 n 项和为分别为 ， ，若 ，则 12 ．设函数 ，数列 满足 ，则（      ） A ．当 时， B ．若 为常数数列，则 C ．若 为递减数列，则 D ．当 时， 三、填空题 （ 20 分） 13 ．数列 的前 项和 ，数列 的通项公式为 . 14 ．已知两个等比数列 ， 的前 项积分别为 ， ，若 ，则 . 15 ．若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则 此等比数列的公比为 （写出一个即可）． 16 ．已知数列 的前 项和为 ， （ ），且 ， . 若 恒成立，则实数 的取值范围为 . 四、解答题 （ 70 分） 17 ．在等比数列 { } 中， ． (1) 求 { } 的通项公式； (2) 求数列 { } 的前 n 项和 Sn ． 18 ．已知等差数列 的前 项和为 ，公差 为整数， ，且 ， ， 成等比数列 . (1) 求 的通项公式； (2) 求数列 的前 项和 . 19 ．数列 是递增的等差数列，且 ， . (1) 求数列 的通项公式； (2) 求数列 的前 项和 . 20 ．已知 是数列 的前 项和， ， . (1) 求数列 的通项公式； (2) 已知 ，求数列 的前 项和 . 21 ．已知数列 ，其中 ，数 列 的前 项和 ，数列 满足 ． （ 1 ）求数列 的通项公式； （ 2 ）是否存在自然数 ，使得对于任意 ， ，有 恒成立？若存在，求出 的最小值； 22 ．已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ， 的前 n 项和， ， ． (1) 求 的通项公式； (2) 证明：当 时， ． 2023-2024 （上）创新部高 三 9 月 考数学试卷 参考答案： 1 ． B 【详解】若 1 ， ， 9 成等比数列，则有 ，解得 ；而 是 的充分不必要条件，等价于 “ ” 是 “1 ， ， 9 成等比数列 ” 的充分不必要条件 . 故选： B. 2 ． C 【详解】 由题意等比数列 的各项均为正数，目 ，则 ，故 ，所以 ，故选： C 3 ． C 【详解】设等差数列 的前 项和为 ，则 ，所以 是等差数列．因为 ，所以 的公差为 ，又 ，所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 ，所以 故选： C 4 ． D 【详解】依题意，该人每个月的收入依次排成一列构成等差数列 ，其前 n 项和为 ，有 ，设 的公差为 d ，因此 ，解得 ，所以该人第 12 月营收贯数 . 故选： D 5 ． A 【详解】解：根据题意，数列 ， ，对于二次函数， ，其开口向下，对称轴为 ，即当 时， 取得最大值，对于 ， 时， 最大；且当 时， ，当 时， ，当 时， ，故当 或 8 时， 最大，故 有最大项， 有最大项；故选： ． 6 ． C 【详解】方法一：设等比数列 的公比为 ，首项为 ，若 ，则 ，与题意不符，所以 ；若 ，则 ，与题意不符，所以 ； 由 ， 可得， ， ① ，由 ① 可得， ，解得： ，所以 ．故选： C ． 方法二：设等比数列 的公比为 ，因为 ， ，所以 ，否则 ， 从而， 成等比数列，所以有， ，解得： 或 ， 当 时， ，即为 ，易知， ，即 ； 当 时， ，与 矛盾，舍去．故选： C ． 7 ． D 【详解】依题意， ，当 时， ，而 满足上式，因此 ， 所以 . 故选： D 8 ． C 【详解】 , 则 ， ∴ , 与已知矛盾，又 ∵ ,∴ 当 时， 与已知矛盾， ∴ 时， , 得