2023-2024学年福建省福州格致鼓山中学、教院二附中、铜盘中学、十五中、十中高二上学期期末联考数学试题（解析版）

2023-2024 学年福建省福州格致鼓山中学、教院二附中、铜盘中学、十五中、十中高二上学期期末联考数学试题 一、单选题 1 ．已知数列 ，则该数列的第 项为（      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 A 【分析】 根据已知各项可知数列的通项公式，代入 即可 . 【详解】 由题意知：该数列的通项公式为 ， . 故选： A. 2 ．若直线经过 两点，则直线 的倾斜角为（      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 C 【分析】 根据两点坐标求出直线的斜率，进而求出倾斜角 . 【详解】 由直线经过 两点，可得直线的斜率为 ， 设直线的倾斜角为 ，有 ，又 ，所以 . 故选： C. 3 ．在长方体 中， ， ， ，则 和 所成的角是（      ） A ． 60° B ． 45° C ． 30° D ． 90° 【答案】 A 【分析】 根据 可知 即为 和 所成的角 . 【详解】 如图所示：易知 ， 所以 和 所成的角，即为 和 所成的角， 在 中， ， 所以 . 即 和 所成的角是 . 故选： A 4 ．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题： “ 三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还． ” 其意思是 “ 有一个人走 378 里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了 6 天后到达目的地． ” 请问第三天走了 A ． 60 里 B ． 48 里 C ． 36 里 D ． 24 里 【答案】 B 【分析】 根据题意得出等比数列的项数、公比和前 项和，由此列方程，解方程求得首项，进而求得 的值 . 【详解】 依题意步行路程是等比数列，且 ， ， ，故 ，解得 ，故 里 . 故选 B. 【点睛】 本小题主要考查中国古典数学文化，考查等比数列前 项和的基本量计算，属于基础题 . 5 ．已知直线 被圆 ： 所截得的弦长为 ，则 （      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 A 【分析】 由于直线过定点 ，而 ，是弦长的一半，所以可知直线与 垂直，从而由斜率的关系列方程可求出 【详解】 ∵ 直线 过定点 ，连接 ，则 ， ∴ 直线 与 垂直， ， ∴ ， 故选： A. 6 ．抛物线 ，过抛物线焦点斜率为 1 的直线 与该抛物线交于 、 两点，则线段 的中点 到抛物线准线的距离为（      ） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 6 【答案】 C 【分析】 求出直线方程，与抛物线联立，可求得 横坐标，即可得出所求 . 【详解】 由抛物线方程可得焦点为 ，准线为 ， 则直线 的方程为 ， 联立方程 可得 ，则 ， ，则 到抛物线准线的距离为 . 故选： C. 7 ．已知数列 为等差数列，公差 不为 ， 中的部分项组成