北京市西城区2021—2022学年度高二下学期期末试卷（标准答案版）

北京市西城区 202 1 —20 2 2 学年度第 二 学期期末试卷 高 二 数学 20 2 2 . 7 本试卷共 5 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （ 1 ） 若 成等差数列，则 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） （ 2 ） 函数 在 处的瞬时变化率为 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） （ 3 ） 将一枚均匀硬币随机 抛 掷 次，恰好出现 次正面向上的 概率为 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） （ 4 ） 已知函数 ， 为 的导函数 ，则 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） （ 5 ） 在等比数列 中， ，则 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） （ 6 ） 若 等差数列 满足 ， ，则当 的前 项 和最大时， （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） y x O - 2 （ 7 ） 设 函数 的极小值为 ，其导函数 的图象过点 ， 如图 所示，则 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） （ 8 ） 在 等 比 数列 中， ， ． 记 ，则数列 （ A ） 有最大项，有最小项 （ B ） 有最大项，无最小项 （ C ） 无最大项，有最小项 （ D ）无最大项，无最小项 （ 9 ） 数列 的通项公式为 ．若 为递增数列 ， 则 的取 值范围是 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） （ 1 0 ） 设 为曲线 上一点， 为曲线 上一点，则 的最小值为 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） 第二部分 （非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （ 11 ） 设 函数 ，则 ___ ． （ 1 2 ） 已知 随机变量 的分布列 如下 ： 则 ___ ； ___ ． （ 1 3 ） 若曲线 在 处的切线方程为 ， 则 ___ ； ___ ． （ 1 4 ） 已知 是公比为 的 等比 数列 ， 其前 项和为 ．若 ， 则 ___ ． （ 15 ） 已知 正方 形 的边长为 ． 取 正方形 各边的中点 ， 作第 个 正 方形 ； 然后再取 正方形 各边的中点 ， 作第 个 正方形 ； … ，依此方法一直继续下去 ． 给出 下列四个结论： ① 从 正方 形 开始 ， 所有这些正方形的周长 依次成等差数列 ； ② 从 正方 形 开始 ， 所有这些正方形的 面积 依次成等比数列 ； ③ 从 正方 形 开始 ， 所有这些正方形 周长之和趋近于 ； ④ 从 正方 形 开始 ， 所有这些正方形 面积 之和趋近于 ． 其中所有正确结论的序号是 ___ ． 三 、 解答 题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （ 1 6 ） （本小题 1 3 分） 已知函数 ． （ Ⅰ ） 求 的 极值 ； （ Ⅱ ） 求 在区间 上的最大值和最小值 ． （ 1 7 ） （本小题 1 3 分） 在 等差数列 中 ， ， ． （ Ⅰ ） 求 的通项公式 ； （ Ⅱ ） 若 是公比为 的等比数列， ，求数列 的前 项和 ． （ 1 8 ） （本小题 1 4 分） 某 单位有 ， 两 家餐厅 提供 早餐与午餐 服务，甲、乙 两人 每 个工作日早 餐和 午 餐都在 单位 用 餐，近 个工作日选择餐厅 用 餐情况统计如下 （单位：天） ： 选择餐厅 （ 早 餐， 午 餐） （ ， ） （ ， ） （ ， ) （ ， ） 甲 乙 假设 用频率估计 概率 ， 且 甲、乙选择餐厅 用餐 相互独立 ． （ Ⅰ ） 估计 一天中 甲选择 个餐厅用餐的概率 ； （ Ⅱ ） 记 为一天中甲用餐选择的餐厅的个数与乙用餐选择的餐厅的个数之和， 求 的分 布列和数学期望 ； （ Ⅲ ） 判断甲、乙 两人 在 早 餐选择 餐厅 用 餐的条件下， 哪位更有可能 在 午餐 选择 餐厅 用 餐 ？ 说明理由． （ 1 9 ） （本小题 1 5 分） 设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本 （单位：万元）与生产量 （单位： 百 件）间的函数关系是 ；销售收入 （单位：万元）与生产量 间的函数关系是 （ Ⅰ ） 把商品的利润表示为生产量 的函数 ； （ Ⅱ ） 为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？ （ 20 ） （本小题 1 5 分） 已知函数 ． （Ⅰ） 判断 在区间 上 的 单调 性，并加以证明 ； （Ⅱ）设 ，若 对 恒成立，求 的最小值 ． （ 21 ） （本小题 1 5 分） 已知 是 公差不为 的 无穷等差 数列． 若 对于 中任意两项 ，在 中 都 存在一项 ， 使得 ， 则称数列 具有性质 ． （ Ⅰ ） 已知 ， 判断数列 是否具有 性质 ； （ Ⅱ ） 若 数列 具有性质 ， 证明： 的各项 均为 整 数 ； （ Ⅲ ） 若 ，求 具有性质 的 数列 的个数 ． 北 京市西城区2021—20 2 2学年度第 二 学期期末试卷 高二数学 答案 及 评分参考 2 022 . 7 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 4 0 分） （ 1 ） A （ 2 ） D （ 3 ） B （ 4 ） B （ 5 ） C （ 6 ） B （ 7 ） B （ 8 ） A （ 9 ） D （ 10 ） C 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） （ 11 ） （ 12 ） （ 13 ） （ 14 ） 或 （ 15 ） ② ④ 注： （ 12 ） 、 （ 1 3 ） 题 第一 空 3 分 ，第二空 2 分 ； （ 1 4 ） 、 （ 1 5 ） 题 少解给 3 分