2023-2024学年福建省厦门市第一中学高二上学期开学考试 数学试题(原卷全解析版）

福建省厦门第一中学 2023 — 2024 学年度 第一学期入学考高二年数学试卷 2023.09.01 考生注意： 1 ．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “ 准考证号、姓名、考试科目 ” 与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3 ．考试结束后，将答题卡交回． I 卷（预习检测） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线 的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆 C ： 的一个焦点为（ 2 ， 0 ），则椭圆 C 的离心率为（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 A. B. C. D. 4 若直线 与圆 相切，则 等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知各项均为正数的等比数列 的前 4 项和为 15 ，且 ，则 （ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 6. 已知抛物线 上横坐标为 4 的点到此抛物线焦点的距离为 9 ，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 4 B. 9 C. 10 D. 18 7. 椭圆 的焦点为 ， P 为椭圆上一点，若 ，则 的面积是 . A. B. C. D. 8. 已知 A ． B ． C 是双曲线 上的三个点， AB 经过原点 O ， AC 经过右焦点 F ，若 且 ，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分． 9. 圆心在直线 上，且经过点 ， 的圆的方程为 ________ ． 10. 已知点 ， ，若直线 与线段 （含端点）相交，则 k 的取值范围为 ________ ． 三、解答题：共 46 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11. 已知 是等差数列 的前 项和， ， . （ 1 ） 求数列 的通项公式； （ 2 ） 若 ，求 的最小值 . 12. 圆 的圆心为 ，且过点 . （ 1 ） 求圆 的标准方程； （ 2 ） 直线 与圆 交 两点，且 ，求 . 13. 已知 顶点 、 、 ． （ 1 ） 求直线 BC 的方程及其在 y 轴上的截距； （ 2 ） 求边 BC 的垂直平分线 l 的方程 （ 3 ） 求 面积． 14. 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 的离心率为 ，过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 当直线 AB 斜率为 0 时，弦 AB 长 4 ． 求椭圆的方程； 若 求直线 AB 的方程． Ⅱ 卷（巩固检测） 四、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 15 已知 ， ，且 与 平行，则 等于（ ） A. B. C. D. 16. 已知向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 17. 已知直四棱柱 的棱长均为 2 ， . 以 D 1 为球心， 为半径的球面与侧面 BCC 1 B 1 的交线长为（ ） A. B. C. D. 2 18. 已知 为 的外心， ， ， ，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 五、填空题：本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分． 19. 用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面．若正四棱台的体积为 28 ，上、下底面边长分别为 2 ， 4 ，则该棱台的对角面面积为 _______ ． 20. 在三棱锥 中， ， 平面 ， ， ，则 与 所成 角为 __________ . 六、解答题：共 24 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21. 在矩形 中， ， ， 是 中点， 是 边上的三等分点（靠近点 ）， 与 交于点 . （ 1 ） 设 ， ，请用 ， 表示 和 ； （ 2 ） 求 与 夹角的余弦值 . 22. 如图，在正三棱柱 中， ， 为 的中点， 、 在 上， . （ 1 ） 试在直线 上确定点 ，使得对于 上任一点 ，恒有 平面 ；（用文字描述点 位置的确定过程，并在图形上体现，但不要求写出证明过程） （ 2 ） 已知 在直线 上，满足对于 上任一点 ，恒有 平面 ， 为（ 1 ）中确定的点，试求当 的面积最大时，二面角 的余弦值 . 福建省厦门第一中学 2023 — 2024 学年度 第一学期入学考高二年数学试卷 2023.09.01 考生注意： 1 ．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “ 准考证号、姓名、考试科目 ” 与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3 ．考试结束后，将答题卡交回． I 卷（预习检测） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线 的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 通过直线方程求出斜率，进而求出直线的倾斜角 . 【详解】 由题意，直线的斜率为 ，设直线的倾