等差数列（高考真题汇编）2020--2023年4年全国高考数学试题（原卷全解析版）

等差数列（高考真题汇编） 2020-2023 年 4 年全国高考数学试题全解析版 一．选择题（共 8 小题） 1 ．（ 2023• 港、澳、台） S n 为等差数列的前 n 项和， S 9 ＝ 81 ， a 2 ＝ 3 ，则 a 10 ＝（　　） A ． 2 B ． 11 C ． 15 D ． 19 2 ．（ 2022• 新高考Ⅱ）图 1 是中国古代建筑中的举架结构， AA ′ ， BB ′ ， CC ′ ， DD ′ 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图 2 是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中 DD 1 ， CC 1 ， BB 1 ， AA 1 是举， OD 1 ， DC 1 ， CB 1 ， BA 1 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ＝ 0.5 ， ＝ k 1 ， ＝ k 2 ， ＝ k 3 ．已知 k 1 ， k 2 ， k 3 成公差为 0.1 的等差数列，且直线 OA 的斜率为 0.725 ，则 k 3 ＝（　　） A ． 0.75 B ． 0.8 C ． 0.85 D ． 0.9 3 ．（ 2023• 甲卷）记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和．若 a 2 + a 6 ＝ 10 ， a 4 a 8 ＝ 45 ，则 S 5 ＝（　　） A ． 25 B ． 22 C ． 20 D ． 15 4 ．（ 2021• 北京）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长 a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 （单位： cm ） 成等差数列，对应的宽为 b 1 ， b 2 ， b 3 ， b 4 ， b 5 （单位： cm ），且长与宽之比都相等．已知 a 1 ＝ 288 ， a 5 ＝ 96 ， b 1 ＝ 192 ，则 b 3 ＝（　　） A ． 64 B ． 96 C ． 128 D ． 160 5 ．（ 2021• 港、澳、台）等差数列 { a n } 中，若 a 2 ﹣ a 5 + a 8 ﹣ a 11 + a 14 ＝ 1 ，则 { a n } 的前 15 项和为（　　） A ． 1 B ． 8 C ． 15 D ． 30 6 ．（ 2020• 浙江）已知等差数列 { a n } 的前 n 项和 S n ，公差 d ≠0 ，且 ≤1 ．记 b 1 ＝ S 2 ， b n +1 ＝ S 2 n +2 ﹣ S 2 n ， n ∈ N * ，下列等式不可能成立的是（　　） A ． 2 a 4 ＝ a 2 + a 6 B ． 2 b 4 ＝ b 2 + b 6 C ． ＝ a 2 a 8 D ． ＝ b 2 b 8 7 ．（ 2020• 北京）在等差数列 { a n } 中， a 1 ＝﹣ 9 ， a 5 ＝﹣ 1 ．记 T n ＝ a 1 a 2 … a n （ n ＝ 1 ， 2 ， … ），则数列 { T n } （　　） A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项 8 ．（ 2023• 新高考Ⅰ）记 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，设甲： { a n } 为等差数列；乙： { } 为等差数列，则（　　） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 二．填空题（共 5 小题） 9 ．（ 2021• 上海）已知等差数列 { a n } 的首项为 3 ，公差为 2 ，则 a 10 ＝ 　 　 ． 10 ．（ 2022• 乙卷）记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和．若 2 S 3 ＝ 3 S 2 +6 ，则公差 d ＝ 　 　 ． 11 ．（ 2020• 新课标Ⅱ）记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和．若 a 1 ＝﹣ 2 ， a 2 + a 6 ＝ 2 ，则 S 10 ＝ 　 　 ． 12 ．（ 2022• 上海）已知等差数列 { a n } 的公差不为零， S n 为其前 n 项和，若 S 5 ＝ 0 ，则 S i （ i ＝ 1 ， 2 ， … ， 100 ）中不同的数值有 　 　 个． 13 ．（ 2020• 上海）已知数列 { a n } 是公差不为零的等差数列，且 a 1 + a 10 ＝ a 9 ，则 ＝ 　 　 ． 三．解答题（共 9 小题） 14 ．（ 2021• 新高考Ⅱ）记 S n 是公差不为 0 的等差数列 { a n } 的前 n 项和，若 a 3 ＝ S 5 ， a 2 a 4 ＝ S 4 ． （Ⅰ）求数列 { a n } 的通项公式 a n ； （Ⅱ）求使 S n ＞ a n 成立的 n 的最小值． 15 ．（ 2021• 甲卷）记 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，已知 a n ＞ 0 ， a 2 ＝ 3 a 1 ，且数列 { } 是等差数列，证明： { a n } 是等差数列． 16 ．（ 2021• 甲卷）已知数列 { a n } 的各项均为正数，记 S n 为 { a n } 的前 n 项和，从下面 ①②③ 中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ① 数列 { a n } 是等差数列； ② 数列 { } 是等差数列； ③ a 2 ＝ 3 a 1 ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 17 ．（ 2021• 乙卷）记 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和， b n 为数列 { S n } 的前 n 项积，已知 + ＝ 2 ． （ 1 ）证明：数列 { b n } 是等差数列； （ 2 ）求 { a n } 的通项公式． 18 ．（ 2023• 乙卷）记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和，已知 a 2 ＝ 11 ， S 10 ＝ 40 ． （ 1 ）求 { a n } 的通项公式； （ 2 ）求数列 {| a n |} 的前 n 项和 T n ． 19 ．（ 2023• 新高考Ⅱ）已知 { a n } 为等差数列， b n ＝ ，记 S n ， T n 为 { a n } ， { b n } 的前 n 项和， S 4 ＝ 32 ， T 3 ＝ 16 ． （ 1 ）求 { a n } 的通项公式； （ 2 ）证明：当 n ＞ 5 时， T n ＞ S n ． 20 ．（ 2022• 新高考Ⅰ）记 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，已知 a 1 ＝ 1 ， { } 是公差为 的等差数列． （ 1 ）求 { a n } 的通项公式； （ 2 ）证明： + +…+ ＜