湖南省衡阳市2023-2024学年高三下学期二模数学试题（原卷全解析版）免费下载

湖南省衡阳市 2023-2024 学年高三下学期二 模数学 试题 考生注意： 1 ．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其他 答案标号． 回答非 选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 ，则 （ ） A B. C. D. 3. 已知双曲线 的左焦点为 ，虚轴的上、下端点分别为 ，若 ，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知 是等比数列，且 ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知 ， 则 （ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 已知函数 部分图像如图所示， ，则 （ ） A. 0 B. C. D. 7. 某种用保温材料制成的管道在单位长度上的热损失 单位： 满足 ，其中 分别为管道的内外半径（单位： ）， 分别为管道内外表面的温度（单位： ）， 为保温材料的导热系数（单位： ），某工厂准备用这种管道传输 的高温蒸汽，根据安全操作规定，管道外表面温度应控制为 ，已知管道内半径为 ，当管道壁的厚度为 时， ，则当管道壁的厚度为 时， 约为（ ） 参考数据： . A. B. C. D. 8. 已知三棱锥 中， ，三棱锥 的体积为 ，其外接球的体积为 ，则线段 长度的最大值为（ ） A. 7 B. 8 C. D. 10 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 在正四棱柱 中， 是棱 中点，则（ ） A. 直线 与 所成的角为 B. 直线 与 所成的角为 C. 平面 平面 D. 直线 与平面 所成角的正弦值 为 10. 已知圆 是直线 上一动点，过点 作直线 分别与圆 相切于点 ，则（ ） A. 圆 上恰有一个点到 的距离为 B. 直线 恒过点 C. 的最小值是 D. 四边形 面积的最小值为 11. 已知函数 的定义域均为 是奇函数，且 ， ，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 偶函数 D. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 曲线 在点 处的切线方程为 ______ ． 13. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线交于 两点（点 在第一象限）， （ 为坐标原点）， ，则 ______ ． 14. 已知有 两个盒子，其中 盒装有 3 个黑球和 3 个白球， 盒装有 3 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从 盒、乙从 盒各随机取出一个球，若 2 个球同色，则甲胜，并将取出的 2 个球全部放入 盒中，若 2 个球异色，则乙胜，并将取出的 2 个球全部放入 盒中．按上述方法重复操作两次后， 盒中恰有 7 个球的概率是 ______ ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 ，当 时， 取得极值 ． （ 1 ） 求 的解析式； （ 2 ） 求 在区间 上的最值． 16. 某报社组织 “ 乡村振兴 ” 主题征文比赛，一共收到 500 篇作品，由评委会给每篇作品打分，下面是 从所有作品中随机抽取的 9 篇作品的得分： 82 ， 70 ， 58 ， 79 ， 61 ， 82 ， 79 ， 61 ， 58 ． （ 1 ） 计算样本平均数 和样本方差 ； （ 2 ） 若这次征文比赛作品的得分 服从正态分布 ，其中 和 的估计值分别为样本平均数 和样本方差 ，该报社计划给得分在前 50 名的作品作者评奖，则评奖的分数线约为多少分？ 参考数据： ． 17. 如图（ 1 ）所示，在平面四边形 中， 是边长为 2 的等边三角形， ， 为边 的中点，将 沿 折成直二面角，得到如图（ 2 ）所示的四棱锥 ． （ 1 ） 若 为棱 的中点，证明： 平面 ； （ 2 ） 求二面角 的正弦值． 18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与 交于 两点， 的周长为 8 ． （ 1 ） 求 方程； （ 2 ） 若直线 与 交于 两点，且原点 到直线 的距离为定值 1 ，求 的最大值． 19. 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于 1 的正整数 都可以被唯一 表示为有限个质数的乘积形式： （ 为 的质因数个数， 为质数， ），例如： ，对应 ．现对任意 ，定义莫比 乌斯函数 （ 1 ） 求 ； （ 2 ） 若正整数 互质，证明： ； （ 3 ） 若 且 ，记 的所有真因数（除了 1 和 以外的因数）依次为 ，证明： ． 高三数学 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】解一元二次不等式解得集合 ，再求并集即可 . 【详解】 ，又 ， 则 . 故选： D. 2. 已知复数 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】根据共轭复数定义，利用除法运算法