北京市
2022-2023
学年上学期高一期末数学试题汇编
11
函数的零点与方程根的关系
一、单选题
1
．（
2023
秋
·
北京平谷
·
高一统考期末）函数
在下列区间内一定存在零点的是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
2
．（
2023
秋
·
北京通州
·
高一统考期末）函数
的零点所在的区间是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
3
．（
2023
秋
·
北京顺义
·
高一统考期末）已知函数
.
在下列区间中，包含
零点的是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
4
．（
2023
秋
·
北京
·
高一校考期末）已知函数
的部分函数值如下表所示：
x
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6321
－
0.1065
0.2776
0.0897
－
0.007
那么函数
的一个零点的近似值（精确度为
0.01
）为（
）
A
．
0.55
B
．
0.57
C
．
0.65
D
．
0.7
5
．（
2023
秋
·
北京房山
·
高一统考期末）已知函数
，其中
且
．若关于
x
的方程
的解集有
3
个元素，则
a
的取值范围为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
二、解答题
6
．（
2023
秋
·
北京
·
高一校考期末）若在定义域内存在实数
，使得
成立，则称函数有
“
飘移点
”
．
(1)
函数
是否有
“
飘移点
”
？请说明理由；
(2)
证明函数
在
上有
“
飘移点
”
；
(3)
若函数
在
上有
“
飘移点
”
，求实数
a
的取值范围．
7
．（
2023
春
·
北京怀柔
·
高一统考期末）已知函数
．
(1)
求函数
的最小正周期；
(2)
若
，求函数
的值域；
(3)
若函数
在区间
上有且仅有两个零点，求
m
的取值范围．
8
．（
2023
春
·
北京密云
·
高一统考期末）已知函数
．
(1)
求
的最小正周期及单调递增区间；
(2)
求
在区间
上的最值，并求出此时对应的
的值；
(3)
若
在区间
上有两个零点，直接写出
的取值范围．
9
．（
2023
秋
·
北京朝阳
·
高一统考期末）已知函数
．
(1)
当
时，解不等式
；
(2)
若函数
是偶函数，求
m
的值；
(3)
当
时，若函数
的图象与直线
有公共点，求实数
b
的取值范围．
10
．（
2023
秋
·
北京西城
·
高一统考期末）函数
，其中
．
(1)
若
，求
的零点；
(2)
若函数
有两个零点
，求
的取值范围．
三、双空题
11
．（
2023
秋
·
北京平谷
·
高一统考期末）已知函数
，
a
为常数．
（
1
）当
时，如果方程
有两个不同的解，那么
k
的取值范围是
；
（
2
）若
有最大值，则
a
的取值范围是
．
12
．（
2023
秋
·
北京门头沟
·
高一校考期末）已知函数
，则函数
最小值为
；如果关于
x
的方程
有两个不同的实根，那么实数
k
的取值范围是
．
13
．（
2023
秋
·
北京昌平
·
高一统考期末）已知定义在
上的函数
，则
的零点是
；若关于
的方程
有四个不等实根
，则
.
14
．（
2023
秋
·
北京东城
·
高一统考期末）已知函数
,
①
当
时，
在
上的最小值为
；
②
若
有
2
个零点，则实数
a
的取值范围是
.
15
．（
2023
秋
·
北京怀柔
·
高一统考期末）已知函数
，当
时，则
；若函数
有三个零点，则实数
的取值范围是
．
四、填空题
16
．（
2023
秋
·
北京丰台
·
高一统考期末）已知函数
给出下列四个结论：
①
当
时，
；
②
若
存在最小值，则
a
的取值范围为
；
③
若
存在零点，则
a
的取值范围为
；
④
若
是减函数，则
a
的取值范围为
．
其中所有正确结论的序号是
．
17
．（
2023
秋
·
北京通州
·
高一统考期末）函数
，方程
有
3
个实数解，则
k
的取值范围为
.
参考答案：
1
．
B
【分析】构建新函数
，根据单调性结合零点存在性定理分析判断
.
【详解】令
，则
，
构建
，则
在
上单调递增，
∵
，
∴
在
内有且仅有一个零点，且零点所在的区间是
，
故函数
一定存在零点的区间是
.
故选：
B.
2
．
C
【分析】先判断函数单调性，再根据零点存在定理将端点值代入，即可判断零点所在区间
.
【详解】由于
均为增函数，
所以
为定义域上的增函数，
,
根据零点存在定理
,
零点在区间
内
.
故选：
C
3
．
A
【分析】依次求出
的符号，由零点存在定理判断即可
.
【详解】
，由零点存在定理可知，包含
零点的是
.
故选：
A
4
．
B
【分析】根据给定条件直接判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断作答
.
【详解】函数
在
R
上单调递增，
由数表知：
，
由零点存在性定义知，函数
的零点在区间
内，
所以函数
的一个零点的
近似值为
.
故选：
B
5
．
C
【分析】由题可得当
，
且
时，不合题意，
时，利用数形结合可得
，进而即得
.
【详解】当
时，
，则
有无数解，不合题意；
当
且
时，
，
，方程
至多有一解，不合题意；
当
时，作出函数
的大致图象，
要使关于
x
的方程
的解集有
3
个元素，
则
，解得
，
所以
a
的取值范围为
.
故选：
C.
6
．
(1)
不存在，理由见详解
(2)
证明见详解
(3)
【分析】（
1
）根据题意整理得
，通过
判断该方程是否有解；
（
2
）根据题意可得
，构建函数
，结合零点存在性定理分析证明；
（
3
）根据题意整理得
，利用换元结合基本不
北京市2022-2023学年高一上学期期末数学试题汇编-11函数的零点与方程根的关系
