2023-2024学年北师大版选择性必修第二册 第二章　§7　7.2　实际问题中的最值问题 (课件)

7.2　实际问题中的最值问题第二章 能力形成·合作探究类型一　平面几何中的最值问题(数学建模、数学运算)【典例】1.如图所示,半径为2的☉M切直线AB于点O,射线OC从OA出发绕着O点顺时针旋转到OB,旋转过程中,OC交☉M于P,记∠PMO为x,弓形PnO的面积为S=f(x),那么f(x)的图象是如图中的 (　　) 【解析】选A.由所给的图示可得,当x≤π时,弓形PnO的面积为S=f(x)=S扇形PnO-S△MPO=2x-2sin x,其导数为f'(x)=2-2cos x,由余弦函数的性质知,此值越来越大,即f(x)的图象上升得越来越快,由此可以排除B,C;再由所给图示的对称性知,弓形PnO的面积先是增加得越来越快,然后是增加得越来越慢,直到增加率为0,由此可以排除D. 2.将边长为1 m的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=,则S的最小值是 (　　)A. B. C. D.  【解析】选A.如图所示,设AD=x m(0<x<1),则DE=AD=x m,所以梯形的周长为x+2(1-x)+1=(3-x)m,又S△ADE=x2(m2),所以梯形的面积为(-x2) (m2),所以S=×(0<x<1),于是S'=-×,令S'=0得x=或3(舍去),当x∈时,S'<0,S递减,当x∈时,S'>0,S递增.故当x=时,S的最小值是.  3.如图所示,某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,当砌墙壁所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为________. 【解析】要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短,设场地宽为x米,则长为米,因此新墙壁总长度L=2x+(x>0),则L'=2-,令L'=0,得x=±16.因为x>0,所以x=16.当x>16时,L'>0,L递增,当0<x<16时,L'<0,L递减,所以当x=16时,Lmin=64,此时堆料场的长为32米.答案:32米,16米  【解题策略】1.利用导数解决优化问题的基本思路2.关于平面图形中的最值问题平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形,主要研究与面积相关的最值问题,一般将面积用变量表示出来后求导数,求极值,从而求最值. 【跟踪训练】如图是一块地皮OAB,其中OA,AB是直线段,曲线段OB是抛物线的一部分,且点O是该抛物线的顶点,OA所在的直线是该抛物线的对称轴.经测量,OA=2 km,AB= km,∠OAB=.现要从这块地皮中划一个矩形CDEF来建造草坪,其中点C在曲线段OB上,点D,E在直线段OA上,点F在直线段AB上,设CD=a km,矩形草坪CDEF的面积为f(a) km2.(1)求f(a),并写出定义域.(2)当a为多少时,矩形草坪CDEF的面积最大?  【解析】(1)以O为原点,OA边所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,过点B作BG⊥OA于点G,在直角△ABG中,AB=,∠OAB=,所以AG=BG=1,又因为OA=2,所以OG=1,则B,设抛物线OCB的标准方程为y2=2px,代入点B的坐标,得p=,所以抛物线的方程为y2=x. 因为CD=a,所以AE=EF=a,则DE=2-a-a2,所以f(a)=a=-a3-a2+2a,定义域为.  (2)f'(a)=-3a2-2a+2,令f'(a)=0,得a=.当0<a<时,f'(a)>0,f(a)在上单调递增;当<a<1时,f'(a)<0,f(a)在(,1)上单调递减.所以当a=时,f(a)取得极大值,也是最大值.  类型二　立体几何中的最值问题(数学运算、直观想象)【典例】请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 【解析】设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),由已知得a=x,h==(30-x),0<x<30.(1)因为S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800,所以当x=15时,S取得最大值.(2)根据题意有V=(x)2(30-x)=2x2(30-x)(0<x<30),所以V'=6x,由V'=0得,x=0(舍)或x=20.所以当x∈时V'>0;当x∈时V'<0,所以当x=20时取得极大值,也是最大值,此时包装盒的高与底面边长的比值为==,即包装盒的高与底面边长的比值为.  【解题策略】关于立体几何中的最值问题(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积,在此基础上解决与实际问题相关的问题.(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式,如果已知图形是由简单几何体组合而成,则要分析其组合关系,将图形进行拆分或组合,以便简化求值过程. 【跟踪训练】如图所示的某种容器的体积为90π cm3,它是由圆锥和圆柱两部分组合而成的,圆柱与圆锥的底面圆半径都为r cm.圆锥的高为h1 cm,母线与底面所成的角为45°;圆柱的高为h2 cm.已知圆柱底面造价为2a元/cm2,圆柱侧面造价为a元/cm2,圆锥侧面造价为a元/cm2.(1)将圆柱的高h2表示为底面圆半径r的函数,并求出定义域.(2)当容器造价最低时圆柱的底面圆半径r为多少?  【解析】(1)因为圆锥的母线与底面所成的角为45°,所以h1=r,圆锥的体积为V1=πr2h1=πr3,圆柱的体积为V2=πr2h2.因为V1+V2=90π,所以V2=πr2h2=90π-πr3,所以h2==-.因为V1=πr3<90π,所以r<3.因此0<r<3.所以h2=-,定义域为{r|0<r<3}.  (2)圆锥的侧面积S1=πr·r=πr2,圆柱的侧面积S2=2πrh2,底面积S3=πr2.容器总造价为y=aS1+aS2+2aS3=2πr2a+2πrh2a+2πr2a=2πa(r2+rh2+r2)=2πa[2r2+r]=.