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2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第一册 1.1数列的概念第2课时数列的递推公式与数列的单调性 课件

课件 全国 2024 湘教版 数列 高二上 选择性必修第一册 PPTX   9页   下载1374   2024-03-05   浏览99   收藏1391   点赞579   评分-   免费文档
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第2课时 数列的递推公式与数列的单调性 新知初探•课前预习题型探究•课堂解透 最新课程标准会由数列的递推公式求数列的项,掌握数列单调性的判断与应用. 新知初探•课前预习 教 材 要 点要点一 数列的递推公式如果数列{an}的任一项an+1与它的________之间的关系可用一个公式an+1=f(an),n≥1来表示,那么这个公式叫作数列{an}的递推公式❶;a1称为数列{an}的初始条件.前一项an 要点二 数列的单调性类别定义递增数列从第2项起,每一项都________它的前一项,即an+1____an递减数列从第2项起,每一项都________它的前一项,即an+1____an摆动数列从第2项起,有些项________它的前一项,有些项小于它的前一项的数列常数列各项都________的数列大于>小于<大于相等 批注❶ 用递推公式给出一个数列,必须给出:(1)“基础”——数列的第1项(或前几项);(2)递推关系——数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系,并且这个关系可以用一个公式来表示. 基 础 自 测1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项.(  )(2)有些数列可能不存在最大项.(  )(3)递推公式是表示数列的一种方法.(  )(4)所有的数列都有递推公式.(  )√√√× 2.数列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5=(  ) A.-3 B.-11C.-5 D.19答案:D解析:a3=a2+a1=5+2=7,a4=a3+a2=7+5=12,a5=a4+a3=12+7=19. 3.若数列{an}满足an=2n,则数列{an}是(  )A.递增数列 B.递减数列C.常数列 D.摆动数列答案:A解析:an+1-an=2n+1-2n=2n>0,∴an+1>an,即{an}是递增数列. 4.(多选)数列2,4,6,8,10,…的递推公式是(  )A.an=an-1+2(n≥2,n∈N+)B.an=2an-1(n≥2,n∈N+)C.a1=2,an=an-1+2(n≥2,n∈N+)D.a1=2,an+1=an+2(n∈N+)答案:CD解析:A,B中没有说明第一项,无法递推. 5.数列{an}的通项公式an=,则-3是此数列的第_____项. 9解析:∵an===-3=,∴n=9.  题型探究•课堂解透 题型1 根据递推公式求数列的项例1 (1)设数列{an}中,a1=2,an+=1(n≥2且n∈N+) ,则a2 022=(  )A.-1 B. C.2 D. 答案:A 解析:由已知得:an=1-,可求a2=,a3=-1,a4=2,∴数列{an}的周期为3,a2 022=a3=-1,选项A正确.  (2)[2022·湖南雅礼中学高二期中]如图①至图④,作一个正三角形,挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的每一个小三角形中又挖去一个“中心三角形”,以此类推,如果我们用着色三角形代表挖去的部分,那么剩下的白三角形则称为谢尔宾斯基三角形,该概念由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.下列4个图形中,若着色三角形的个数依次构成数列{an}的前4项,则a6=________.364解析: 依题意可知a1=1,a2=4,a3=13,a4=40,且an+1=3an+1,所以a5=3a4+1=3×40+1=121,a6=3a5+1=3×121+1=364. 方法归纳根据递推公式求数列的项的两种类型巩固训练1 (1)[2022·重庆巴蜀中学高二期中]已知数列{an}满足:a1=1,a2=2,an+2=(n∈N+),则a20=___. 2解析:由已知,a3=2,a4=1,a5=,a6=,a7=1,a8=2,因此数列{an}是周期数列,周期为6,a20=a2=2.  (2)将石子摆成如图所示的梯形形状,称数列5,9,14,20,…为“梯形数”.结合图形的构成可猜想a2 021-a2 020=________.2 023解析: 由题意可知,a1=5,a2=9,a3=14,a4=20,…,所以,a2-a1=9-5=4=2+2,a3-a2=14-9=5=3+2,a4-a3=20-14=6=4+2,…由此我们可以推断:当n≥2时,an-an-1=n+2,故a2 021-a2 020=2 021+2=2 023. 题型2 数列递推公式与通项公式的关系例2 (1)对于任意数列{an},等式:a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2,n∈N+)都成立.试根据这一结论,完成问题:已知数列{an}满足:a1=1,an+1-an=2,求通项an;解析:n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2+2+…+2(n-1)个2=2(n-1)+1=2n-1.a1=1也适合上式,所以数列{an}的通项公式是an=2n-1. (2)若数列{an}中各项均不为零,则有a1···…·=an(n≥2,n∈N+)成立.试根据这一结论,完成问题:已知数列{an}满足:a1=1,=(n≥2,n∈N+),求通项an. 解析: n≥2时,an=a1···…·=1···…·=.a1=1也适合上式,所以数列{an}的通项公式是an=.  方法归纳 由数列的递推公式求通项公式的两种方法 巩固训练2 已知数列{an}满足a1=2,an=n(an+1-an)(n∈N+) ,则数列{an}的通项公式为an=(  )A.2n B.C.n2+1 D.n+1 答案:A解析:由an=n(an+1-an),得(n+1)an=nan+1,即=,则===,…,=,n≥2,由累乘法可得=n,所以an=2n(n≥2),又a1=2,符合上式,所以an=2n.  题型3 数列单调性的判断例3 已知数列{an}的通项公式是an=,判断该数列的单调性.  解析:方法一(作差法) 因为an+1-an===>0,所以an+1>an对任意的n(n∈N+)都
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