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专题归纳思维深化
专题一导数几何意义的应用 例1已知函数f(x)=ln x- ,g(x)=ax+b.若函数g(x)=ax+b的图象是函数f(x)=ln x- 图象的切线,求a+b的最小值.
当t∈(0,1)时,φ'(t)<0,φ(t)在(0,1)内单调递减;当t∈(1,+∞)时,φ'(t)>0,φ(t)在(1,+∞)内单调递增.即当t=1时,φ(t)取得极小值,也为最小值.则a+b=φ(t)≥φ(1)=-1,故a+b的最小值为-1.
反思感悟利用导数求切线方程的关键是找到切点,若切点未知需设出.常见的类型有两种:一类是求“在某点处的切线方程”,此点一定为切点,易求斜率进而写出直线方程;另一类是求“过某点的切线方程”,点(x0,y0)不一定是切点,可先设切点为Q(x1,y1),由 =f'(x1)和y1=f(x1),求出x1,y1的值,再转化为第一种类型.
变式训练1已知曲线y=x2+aln x(a>0)上任意一点处的切线的斜率为k,若k的最小值为4,则此时切点的坐标为 . 答案 (1,1)
专题二函数的单调性、极值、最值问题 例2已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2) ,其中a<0.(1)当a=-4时,求f(x)的单调增区间;(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.
③当- >4,即a<-8时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4处取得,而f(1)≠8,由f(4)=2(64+16a+a2)=8,得a=-10或a=-6(舍去),当a=-10时,f(x)在[1,4]内单调递减,f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8,符合题意.综上,a=-10.
反思感悟本类题考查了分类讨论思想,解题时首先要思考为什么分类,即分类依据是什么.一般的分类依据有方程类型、根的个数及与区间的关系、不等号的方向等.其次考虑分几类,每一类中是否还需要分类.分类讨论的基本原则是不重不漏.
变式训练2已知函数f(x)=ax3+bx2+cx的图象如图所示,则有( )A.a>0,c<0 B.a>0,c>0C.a<0,c<0 D.a<0,c>0答案 A 解析 ∵f'(x)=3ax2+2bx+c,∴a>0,∵0在递减区间内,∴f'(0)<0,即c<0,故选A.
变式训练3已知函数f(x)=ex-ax,a>0.(1)记f(x)的极小值为g(a),求g(a)的最大值;(2)若对任意实数x恒有f(x)≥0,求f(a)的取值范围.
解 (1)函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),f'(x)=ex-a,令f'(x)>0,得x>ln a,所以f(x)的单调增区间是(ln a,+∞);令f'(x)<0,得x<ln a,所以f(x)的单调减区间是(-∞,ln a),函数f(x)在x=ln a处取极小值,g(a)=f(ln a)=eln a-aln a=a-aln a,g'(a)=1-(1+ln a)=-ln a,当0<a<1时,g'(a)>0,g(a)在(0,1)内单调递增;当a>1时,g'(a)<0,g(a)在(1,+∞)内单调递减,所以a=1是函数g(a)在(0,+∞)上唯一的极大值点,也是最大值点,所以g(a)max=g(1)=1.
当0<x<1时,h'(x)<0,当x>1时,h'(x)>0,故h(x)的最小值为h(1)=e,所以a≤e,故实数a的取值范围是(0,e].f(a)=ea-a2,a∈(0,e],f'(a)=ea-2a,易知在(0,e]内ea-2a≥0恒成立,故f(a)在(0,e]上单调递增,所以f(0)=1<f(a)≤f(e)=ee-e2,即f(a)的取值范围是(1,ee-e2].
专题三构造法的应用
答案 D 解析 由f'(x)sin x>f(x)cos x,即f'(x)sin x-f(x)cos x>0,
例4已知定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f'(x)满足f(x)>f'(x),且f(0)=2,则不等式f(x)<2ex的解集为( )A.(-∞,0) B.(-∞,2)C.(0,+∞) D.(2,+∞)
答案 C ∵f(x)>f'(x),∴g'(x)<0,即函数g(x)在定义域上为单调减函数.∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2,则不等式等价于g(x)<g(0).∵函数g(x)为单调减函数,∴x>0,∴不等式f(x)<2ex的解集为(0,+∞),故选C.
反思感悟导数问题中的构造性方法主要用于解决比较函数值大小或求解不等式.解决比较函数值大小的题目关键是构造出恰当的函数,求出该函数的导数,利用单调性进而确定函数值的大小;对于求解不等式则需构造恰当的函数并判断其单调性,利用单调性求解不等式.
A.a<c<b B.b<c<aC.a<b<c D.c<a<b
答案 B 解析 令g(x)=xf(x),则g(-x)=-xf(-x)=xf(x),∴g(x)是偶函数.g'(x)=f(x)+xf'(x),∴当x>0时,xf'(x)+f(x)<0,
当x<0时,xf'(x)+f(x)>0.∴g(x)在(0,+∞)内单调递减.
专题四导数的综合应用 例5已知函数f(x)=ex-cx-c(c为常数,e是自然对数的底数),f'(x)是函数y=f(x)的导函数.(1)求函数f(x)的单调区间.(2)当c>1时,试求证:①对任意的x>0,不等式f(ln c+x)>f(ln c-x)恒成立;②函数y=f(x)有两个相异的零点.
(1)解 函数f(x)=ex-cx-c的导数为f'(x)=ex-c,当c≤0时,f'(x)>0恒成立,可得f(x)的增区间为R;当c>0时,由f'(x)>0,可得x>ln c,由f'(x)<0,可得x<ln c.可得f(x)的增区间为(ln c,+∞),减区间为(-∞,ln c).
(2)证明 ①f(ln c+x)-f(ln c-x)=eln c+x-c(ln c+x)-c-eln c-x+c(ln c-x)+c=c(ex-e-x-2x),设g(x)=ex-e-x-2x,x>0,则g'(x)=ex+e-x-2,即g'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)内单调递增,可得g(x)>g(0)=0,
又c>1,则c(ex-e-x-2x)>0,可得不等式f(ln c+x)>f(ln c-x)恒成立.②函数f(x)=ex-cx-c的导数为f'(x)=ex-c,当c>1时,f(x)的增区间为(ln c,+∞);减区间为(-∞,ln c),可得f(x)在x=ln c处取得极小值,且为最小值,由f(ln c)=eln c-cln c-c=c-cln c-c=-cln c<0,可得f(x)=0有两个不等的实根,则函数y=f(x)有两个相异的零点.
反思感悟利用导数解决不等式的证明及函数的零点的求解与证明时,注意运用构造函数和转化思想.
变式训练6已知函数f(x)
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第二册导数及其应用章末整合课件
