知识梳理·读教材01题型突破·析典例02知能演练·扣课标03目录CONTENTS
01知识梳理·读教材
观察如图所示的函数y＝f（x），x∈[－3，2]的图象，回忆函数极值的定义，回答下列问题：问题 （1）图中所示函数的极值点与极值分别是什么？（2）图中所示函数的最值点与最值分别是什么？
知识点 函数的最值1.最大值点与最小值点函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数f（x）在这个区间上所有点处的函数值都 不超过f（x0） .函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数f（x）在这个区间上所有点处的函数值都 不低于f（x0） .不超过f（x0） 不低于f（x0）
2.最大值与最小值最大（小）值在导数的零点取得，或者在区间的端点取得.要想求函数的最大（小）值，一般首先求出函数导数的零点，然后将所有 导数零点 与 区间端点 的函数值进行比较，其中最大（小）的值即为函数的最大（小）值.函数的最大值和最小值统称为 最值 .导数零点 区间端点 最值
提醒 函数的极值与最值的区别与联系：①极值是对某一点附近（局部）而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言；②在函数的定义区间[a，b]内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值至多一个；③函数f（x）的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点.
在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间（a，b）上呢？提示：在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值.如果函数f（x）在[a，b]上是单调的，此时f（x）在[a，b]上无极值；如果f（x）在[a，b]上不是单调函数，则f（x）在[a，b]上有极值.当f（x）在（a，b）上为单调函数时，它既没有最值也没有极值.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）函数的最大值不一定是函数的极大值.（ ）答案：（1）√ （2）函数f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.（ ）答案：（2）× （3）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.（ ）答案：（3）×
2.函数f（x）＝x－sin x，x∈的最大值是（ ） A.π－1B.－1C.πD.π＋1A.π－1C.πD.π＋1解析：∵f'（x）＝1－cos x，当x∈时，f'（x）＞0，∴f（x）在上单调递增，∴f（x）的最大值为f（π）＝π－sin π＝π，故选C.
3.函数f（x）＝x3－x2－3x＋6在[－4，4]上的最大值为 ，最小值为 . 解析：f'（x）＝x2－2x－3，令f'（x）＞0，得x＜－1或x＞3，令f'（x）＜0，得－1＜x＜3，故f（x）在（－∞，－1），（3，＋∞）上单调递增，在（－1，3）上单调递减，故f（x）的极大值为f（－1）＝，极小值为f（3）＝－3，又f（－4）＝－，f（4）＝－，故f（x）的最大值为f（－1）＝，最小值为f（－4）＝－. 答案： －
02题型突破·析典例
题型一 求函数的最值角度一：不含参数的最值问题【例1】 （1）y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2，1]上的最小值为（ ）A.B.2B.2（1）解析 y'＝3x2＋2x－1＝（3x－1）（x＋1），令y'＝0，解得x＝或x＝－1.当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2；当x＝时，y＝；当x＝1时，y＝2，所以函数的最小值为－1，故选C. C.－1D.4
（2）已知函数f（x）＝x3－3x，x∈R.①求f（x）的单调区间；②在x∈[－，3]时，求f（x）的最大值与最小值. ②由①知x∈[－，3]时，f（x）的极大值为f（－1）＝2，f（x）的极小值为f（1）＝－2，又f（－）＝0，f（3）＝18.所以f（x）的最大值为18，f（x）的最小值为－2. （2）解 ①f'（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），当x＜－1或x＞1时，f'（x）＞0，当－1＜x＜1时，f'（x）＜0.所以f（x）的单调递增区间为（－∞，－1）和（1，＋∞），单调递减区间为（－1，1）.
通性通法求函数最值的四个步骤（1）求函数的定义域；（2）求f'（x），解方程f'（x）＝0；（3）列出关于x，f（x），f'（x）的变化表；（4）求极值、端点值，确定最值.提醒 不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较.
角度二：含参数的最值问题【例2】 已知函数f（x）＝（x－k）ex.（1）求f（x）的单调区间；解 （1）由f（x）＝（x－k）ex，得f'（x）＝（x－k＋1）ex，令f'（x）＝0，得x＝k－1.当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如下表：x（－∞，k－1）k－1（k－1，＋∞）f'（x）－0＋f（x）↘－e
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第二册函数的最值（课件）
