2023-2024学年北师大版选择性必修第二册 实际问题中的最值问题 (课件)

§7.2实际问题中的最值问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，通过前面的学习，知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题. 1．了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用．(重点)2．能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值)．(难点、易混点) 1．通过导数的实际应用的学习，培养数学建模素养．2．通过解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题，提升逻辑推理、数学运算素养． 体会课堂探究的乐趣， 汲取新知识的营养，让我们一起 吧！进走课堂 在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题，这些问题通称为最优化问题.导数是解决最优化问题的一个重要工具.探究点1 面积、体积的最值问题 【思路点拨】 【规律总结】 例2 如图2-23(1), 一边长为48 cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器，如图2-23(2).所得容器的容积V(单位: cm3)是关于截去的小正方形的边长x(单位：cm)的函数. (1)随着x的变化，容积V是如何变化的？(2)截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少?解(1)首先写出V关于x的函数解析式.根据题意，可得V=V(x) = (48-2x)2x.由实际情况可知函数V(x)的定义域为{x|0＜x＜24}.根据导数公式表及导数的运算法则，可得 v'(x) = -4x(48-2x) + (48-2x)2=(48-2x)(-6x+48) =12(x-24)(x-8). 解方程 V'(x)=O,得 x1=8,x2 = 24. 根据x1,x2,列出表2-12,分析V'(x)的符号、V(x)的单调性和极值点. 根据表2-12可知,x=8是函数V=V(x)的极大值点，相应的极大值为V=V(8) = (48-16)2×8=8 192(cm3).V=(48-2x)2x的大致图象如图2-24.根据对函数变化规律的讨论可知：当0<x≤8时，函数V=V(x)单调递增；当8≤x＜24时，函数V=V(x)单调递减. (2)区间(0,24)上任意点的函数值都不超过V(8),因此，x=8是函数的最大值点.此时V=V(8)=8 192(cm3)是函数V=V(x)在区间(0,24)内的最大值.即当截去的小正方形的边长为8 cm时,得到的容器容积最大，最大容积为8 192 cm3. 例3 对于企业来说，生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题. 对一家药品生产企业的研究表明,该企业的生产成本y(单位:万元)和生产收入z(单位:万元)都是产量x(单位:t)的函数，分别为y=x3-24x2+225x+10, z=180x.⑴试写出该企业获得的生产利润ω(单位:万元)与产量x之间的函数关系式； ⑵当产量为多少时，该企业可获得最大利润？最大利润为多少？ 解 (1)因为总利润=总收入一总成本，即ω=z-y,所以 ω= ω(x)= 180x-(x3-24x2+225x+10), 即 ω= -x3 +24x2-45x-10 (x≥0).(2)根据导数公式表及导数的运算法则，可得 ω'(x)=3x2+48x-45 = -3(x-1)(x-15).解方程 ω'(x)=0,得 X1 =1,X2 = 15. 由图2-25可知，当x≥15时，ω'(x)≤0,所以ω(x)<ω(15).比较 x=0,x=l和x=15的函数值ω(0) =-10, ω(l) = -32, ω(15) = l 340可知，函数ω= ω(x)在x=15处取得最大值，此时最大值为1 340.即该企业的产量为15 t 时，可获得最大利润，最大利润为1 340万元. 1．生活中的最优化问题有哪些常见类型 ⑴利润最大问题 目标函数是利润，一般确定函数解析式的等量关系为利润＝每件利润×销量，其中每件利润＝每件售价－每件成本．实际问题中成本可分为两类：可变部分(因产品数量变化而变化)与不变部分(不因产品数量变化而发生改变)．认真审题，读题两遍：第一遍看完题目后根据关键词确定函数模型(利润最大问题)；第二遍读题时应标清数据的地位与作用，不要张冠李戴．准确确定定义域，最后用导数求最值 ⑵用料最省 受一定资源限制，实际生活中有一类最优化问题就是费用最低、用料最省问题．通过审题将所需费用(或几何体的表面积等涉及用料问题的量)设为目标变量，选择恰当的自变量，抓住题中的等量关系，写出函数解析式，一定要注意自变量的实际意义，准确确定定义域．建立函数模型后，用导数法求目标函数的最小值 ⑶容积最大 解决容积、体积最大问题时，需根据几何体的形状，利用立体几何的相关知识，如柱、锥、球的体积公式等，将目标变量表示为取好的自变量的函数，准确确定定义域，再用导数知识求目标函数的最大值. C B B 6