必备知识•探新知
等比数列的定义 知识点 1一般地,如果一个数列从_________起,每一项与它的前一项的比都等于_____________,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的_______,公比通常用字母_____表示(显然q≠0).第2项同一个常数公比q
练一练:已知等差数列{an}的公差d≠0,它的第1、5、17项顺次成等比数列,则这个等比数列的公比是( )A
[解析] 数列{an}是公差为d≠0的等差数列,则an=a1+(n-1)d,则a5=a1+4d,a17=a1+16d,第1、5、17项顺次成等比数列,则(a1+4d)2=a1(a1+16d),解得a1=2d,故选A.
等比中项 知识点 2等比数列a,G,b
想一想:“a,G,b成等比数列”与“G2=ab”等价吗?提示:“a,G,b成等比数列”与“G2=ab”是不等价的.前者可以推出后者,但后者不能推出前者.如G=a=0,b=1,满足G2=ab,而0,0,1不成等比数列.因此“a,G,b成等比数列”是“G2=ab”的充分不必要条件.
A.-1 B.1C.2 D.±1D所以a2与a4的等比中项是±1,故选D.
等比数列的通项公式 知识点 3设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则这个等比数列的通项公式是an=____________(a1,q≠0).a1qn-1
想一想:关于等比数列通项公式的推导,除了教材方法外还有哪些方法?提示:方法一(迭代法) 根据等比数列的定义,得an=an-1q=(an-2q)q=an-2q2=(an-3q)q2=an-3q3=…=a2qn-2=(a1q)qn-2=a1qn-1(n≥2);当n=1时,上面等式也成立.故当n∈N*时,an=a1qn-1.
练一练:已知{an}是首项为2,公比为3的等比数列,则这个数列的通项公式为( )A.an=2·3n+1 B.an=3·2n+1C.an=2·3n-1 D.an=3·2n-1[解析] 由已知可得a1=2,公比q=3,则数列{an}的通项公式为an=a1·qn-1=2·3n-1.C
关键能力•攻重难
判断下列数列是否是等比数列,如果是,写出它的公比.题型探究题型一等比数列的概念典例 1
[解析] (1)不是等比数列.(2)是等比数列,公比为1.(4)不是等比数列.(5)是等比数列,公比为-4.
A.是等差数列,也是等比数列B.是等差数列,不是等比数列C.是等比数列,不是等差数列D.不是等差数列,也不是等比数列对点训练❶D
题型二等比数列的通项公式 在等比数列{an}中,公比为q.(1)若a1=1,a4=8,求an;(2)若an=625,n=4,q=5,求a1;(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.[解析] (1)因为a4=a1q3,所以8=q3,所以q=2,所以an=a1qn-1=2n-1.典例 2
[规律方法] 等比数列通项公式的求法(1
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第一册 等比数列的概念 课件