知识梳理一、导数的符号与函数的单调性之间的关系1.若在某个区间内,函数y=f(x)的导数f'(x)>0,则在这个区间内,函数y=f(x)单调递增;2.若在某个区间内,函数y=f(x)的导数f'(x)<0,则在这个区间内,函数y=f(x)单调递减.
名师点析(1)利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便,但应注意f'(x)>0(或f'(x)<0)仅是函数f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件.(2)若在某个区间内,f'(x)≥0,且只在有限个点为0,则在这个区间内,函数y=f(x)单调递增;若在某个区间内,f'(x)≤0,且只在有限个点为0,则在这个区间内,函数y=f(x)单调递减.
微判断(1)函数f(x)在定义域上都有f'(x)<0,则函数f(x)在定义域上单调递减.( )(2)函数f(x)在某区间内单调递增,则一定有f'(x)>0.( )(3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.( )× × √
微练习若定义域为R的函数f(x)的导数f'(x)=2x(x-1),则f(x)在区间 内单调递增,在区间 内单调递减. 答案 (1,+∞) (-∞,1)解析 由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得x<1,所以f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,在区间(-∞,1)内单调递减.
二、函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)上:导数的绝对值函数值变化函数的图象较大较快比较“陡峭”(向上或向下)较小较慢比较“平缓”(向上或向下)
名师点析1.原函数的图象通常只看增(减)变化,而导函数的图象通常对应只看正(负)变化.2.导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的陡峭(平缓).弄清楚两个对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数值大小的关系.
微点拨明确导数值与函数图象变化趋势的关系1.在某一个区间上导数值为正,函数单调递增;导数值为负,函数单调递减.2.函数图象越陡峭,导数的绝对值越大;函数图象越平缓,导数的绝对值越小.反之,亦成立.
三、已知函数单调性求参数的取值范围1.解题步骤:
2.注意事项:一般地,要检验参数的取值能否使f'(x)恒等于0,若f'(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点处有f'(x)=0,则由f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解.3.解决该类问题常用的有关结论:m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max;m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min.
微练习函数f(x)=x-sin x在(-∞,+∞)上是( )A.增函数 B.减函数C.先增后减 D.不确定答案 A解析 ∵f(x)=x-sin x,∴f'(x)=1-cos x≥0在(-∞,+∞)上恒成立,且使f'(x)=0的点是一列孤立的点,∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
微思考(1)在区间(a,b)上,若f'(x)>0,则f(x)在此区间上单调递增,反之也成立吗?(2)若函数f(x)为可导函数,且在区间(a,b)上是单调递增(或递减)函数,则f'(x)满足什么条件?提示 (1)不一定成立.比如y=x3在R上为增函数,但其在x=0处的导数等于零.也就是说f'(x)>0是y=f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件.(2)f'(x)≥0(或f'(x)≤0).
四、解析式中含参数的函数单调区间的求法函数解析式中含有参数时,讨论其单调性(或求其单调区间)问题,往往要转化为解含参数的不等式问题,这时应对所含参数进行适当的分类讨论,做到不重不漏,最后要将各种情况分别进行表述.
微练习 解 ①当a=0时,f(x)=x2+1,其单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).
课堂篇 探究学习
探究一判断函数的单调性
反思感悟关于利用导数证明函数单调性的问题(1)首先考虑函数的定义域,所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.(2)若f'(x)>(或<)0,则f(x)单调递增(或递减).但要特别注意,若f(x)单调递增(或递减),则f'(x)≥0(或f'(x)≤0).
探究二利用导数求函数的单调区间角度1 不含参数的函数求单调区间例2求f(x)=3x2-2ln x的单调区间.
反思感悟求不含参数的函数y=f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数y=f(x)的定义域.(2)求导数y'=f'(x).(3)解不等式f'(x)>0,函数在解集内单调递增.(4)解不等式f'(x)<0,函数在解集内单调递减.
变式训练2函数f(x)=(x2+2x)ex(x∈R)的单调递减区间为 .
角度2 含参数的函数求单调区间例3讨论函数f(x)= ax2+x-(a+1)ln x(a≥0)的单调性.由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0<x<1.∴f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0<x<1.∴f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
反思感悟(1)讨论参数要全面,做到不重不漏.(2)解不等式时若涉及分式不等式,要注意结合定义域化简,也可转化为二次不等式求解.
变式训练3设函数f(x)=ex-ax-2,求f(x)的单调区间. 解 f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=ex-a.∵当a≤0时,f'(x)>0,∴f(x)在(-∞,+∞)内单调递增.当a>0时,∵当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0.∴f(x)在(-∞,ln a)内单调递减,在(ln a,+∞)内单调递增.综上所述,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);当a>0时,f(x)的单调递增区间为(ln a,+∞),单调递减区间为(-∞,ln a).
探究三已知函数的单调性求参数的范围例4已知函数f(x)=x3-ax-1为增函数,求实数a的取值范围. 解 由已知得f'(x)=3x2-a,因为f(x)在(-∞,+∞)内单调递增,所以f'(x)=3
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第二册函数的单调性(课件)
