2023-2024学年北师大版高中数学必修第二册 第二章平面向量及其应用 复习与总结 （课件）

章末复习与总结 ⁠ ⁠一、数学抽象　　数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征.在本章中主要表现为理解向量的基本概念. 培优一　平面向量的基本概念【例1】　（1）（多选）下列命题中，其中正确的是（　　）A.a∥b⇔存在唯一的实数λ∈R，使得b＝λaB.e为单位向量，且a∥e，则a＝±｜a｜eC.｜a·a·a｜＝｜a｜3D.若a·b＝b·c且b≠0，则a＝c解析　（1）若a为零向量，则A不成立.根据向量数量积的概念可知D错误.易知B、C正确. （2）若向量a＝（x，2），b＝（2，3），c＝（2，－4），且a∥c，则a在b上的投影向量为（　　）A.B.C.D.解析（2）因为a＝（x，2），c＝（2，－4），且a∥c，所以－4x＝4，解得x＝－1.所以a＝（－1，2），所以a在b上的投影向量为b＝（2，3）＝（2，3）＝.故选C.  二、数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.在本章中主要表现在向量的线性运算、数量积运算及解三角形中. 培优二　平面向量的线性运算【例2】　（1）在△ABC，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（　　） A.－B.－C.＋D.＋解析　（1）如图，＝－＝－＝－×（＋）＝－.故选A.  （2）如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点.若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为（　　） A.B.C.D.2D.2解析（2）以A为坐标原点，以，的方向分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系（图略），设正方形边长为1，则＝（1，1），＝，＝（－1，1），故1＝λ－μ，1＝λ＋μ，解得λ＝，μ＝，∴λ＋μ＝.故选B.  培优三　平面向量的数量积运算【例3】　（1）（2020·新高考Ⅰ卷）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是（　　） A.（－2，6）B.（－6，2）C.（－2，4）D.（－4，6）解析　（1）·＝｜｜·｜｜·cos ∠PAB＝2｜｜cos ∠PAB，又｜｜cos ∠PAB表示在方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小.又·＝2×2×cos 30°＝6，·＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈（－2，6），故选A.  （2）（2022·全国甲卷）设向量a，b的夹角的余弦值为，且｜a｜＝1，｜b｜＝3，则（2a＋b）·b