1．3.1 函数的单调性与导数
新知初探·课前预习题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
要点一 函数的单调性与其导数的正负之间的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0❶单调递____f′(x)<0❷单调递____批注❶ f′(x)>0，即函数f(x)图象的切线斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲线呈上升趋势．批注❷ f′(x)<0，即函数f(x)图象的切线斜率为负，则切线的倾斜角为钝角，曲线呈下降趋势．增减
要点二 函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大____比较“________”(向上或向下)越小____比较“________”(向上或向下)快陡峭慢平缓
基 础 自 测1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．( )(2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.( )(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．( )× × √
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则( )A．f′(3)>0B．f′(3)<0C．f′(3)＝0D．f′(3)的符号不确定答案：B解析：由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f′(x)<0，所以f′(3)<0.
3．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是( )A．增函数 B．减函数C．先增后减 D．不确定答案：A解析：∵f(x)＝2x－sin x，∴f′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
4．函数f(x)＝的单调递减区间为________． 答案：(－∞，0)，(0，＋∞)解析：易知f′(x)＝－，由f′(x)＜0得x＜0或x＞0，所以单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
题型探究·课堂解透
题型1 单调性与导数的关系例1 设函数f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是( )答案：B解析：由函数f(x)的图象，知当x<0时，f(x)是单调递减的，所以f′(x)<0；当x>0时，f(x)先减，后增，最后减，所以f′(x)先负后正，最后为负．
方法归纳研究函数与导函数图象之间关系的方法研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
巩固训练1 偶函数f′(x)为f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能为( )答案：B
解析：由题意可知，f′(x)为偶函数，设f′(x)的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为－x1，x1，(x1>0)，由图象可得，当x<－x1时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，当<x<x1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，当x>x1时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，故选项A错误，选项D错误；由f′(x)的图象可知，f′(x)在x＝0左右的函数值是变化的，不同的，而选项C中，f(x)的图象在x＝0左右是一条直线，其切线的斜率为定值，即导数f′(x)为定值，故选项C错误，选项B正确．
题型2 利用导数求函数的单调区间例2 求函数f(x)＝x2－ln x的单调区间． 解析：函数f(x)＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝.令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－1(舍)．f′(x)，f(x)随x的变化如表所示．故函数f(x)＝x2－ln x的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0，1)． x(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减f(1)单调递增
方法归纳求函数单调区间的步骤
巩固训练2 函数f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的单调递减区间为________________．答案：(－2－，－2＋) 解析：由f′(x)＝(x2＋4x＋2)ex<0，即x2＋4x＋2<0，解得－2－<x<－2＋.所以f(x)＝(x2＋2x)ex的单调递减区间为(－2－，－2＋)．
题型3 已知函数的单调性求参数的范围例3 (1)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是________；解析：由于f′(x)＝k－，则f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增等价于f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k≥，而0<<1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞)．
(2)若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围． 解析：(2)对函数f(x)求导得f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)].令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.因为函数在区间(1，4)内为减函数，所以当x∈(1，4)时，f′(x)≤0.又函数在区间(6，＋∞)上为增函数，所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)≥0，所以4≤a－1≤6，所以5≤a≤7.即实数a的取值范围为[5，7].
方法归纳利用导数求参数取值范围的两个策略
巩固训练3 已知函数f(x)＝x3－ax－1为增函数，求实数a的取值范围．解析：由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，即f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.
2023-2024学年高中数学湘教版高中数学选择性必修第二册 1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数 课件
