激趣诱思古语云:“勤学如春起之苗,不见其增,日有所长;辍学如磨刀之石,不见其损,日有所亏.”如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量,则每日的高度值按日期排在一起,可组成一个数列.同样,对“磨刀之石”用精密仪器度量,则每日的质量按日期排在一起,也可以组成一个数列.那么什么叫数列呢?
知识梳理一、数列及其有关概念 1.按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,各项依次叫作这个数列的第1项,第2项,…,第n项,…,其中数列的第1项也叫数列的首项,第n项也叫数列的通项.2.数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,或简记为数列{an}.具有顺序性,与集合中的元素性质不同
名师点析(1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,例如1,2,3与3,2,1就是不同的数列.(2)符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项.
微思考数列与集合之间有怎样的区别与联系?提示 (1)集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,而数列中的项具有确定性、有序性、可重复性;(2)集合中的元素可以是数,也可以是点、方程以及其他事物等,但数列中的每一项必须是数;(3)数列{an}不是集合,它是数列的一个整体符号,{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,而an表示数列的第n项.
微判断(1)1,1,1,1是一个数列.( )(2)数列0,1,3与数列3,1,0是同一个数列. ( )(3)数列1,3,5,7,…的首项是1.( )√ × √
二、数列的分类 分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列
微练习下列正确说法的序号是 . ①{0,1,2,3,4,5}是有穷数列;②按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷数列;③-2,-1,1,3,-2,4,3是一个项数为5的数列;④数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列.
答案 ②解析 紧扣数列的有关概念,验证每一个说法是否正确.{0,1,2,3,4,5}是集合,而不是数列,故①错误;按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷数列,故②正确;同一个数在数列中可以重复出现,故此数列共有7项,故③错误;数列1,2,3,4,…,2n,共有2n项,是有穷数列,故④错误
三、数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 an=f(n),那么这个式子就叫作这个数列的通项公式,数列的通项公式就是相应函数的解析式.数列是一种特殊的函数
名师点析(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N+(或其子集){1,2,…,n}为定义域的函数表达式.(2)并不是所有的数列都有通项公式.(3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos nπ等.
微练习1若数列{an}的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项a10= ,224是该数列的第 项. 答案 99 15解析 a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是该数列的第15项.
微练习2根据数列的前几项,写出下面各数列的一个通项公式.(1)-2,-2,-2,-2,…;
课堂篇 探究学习
探究一数列的分类例1下列数列中,是无穷数列的序号为 . 答案 (1)(2)(3)解析 根据有穷数列和无穷数列的分类标准可知,(1)(2)(3)的项数是无限的,因此(1)(2)(3)均是无穷数列;而(4)项数有限,为有穷数列.
反思感悟判断数列是有穷数列还是无穷数列,就是根据数列的项数的有限性或无限性.
变式训练1下列数列是有穷数列的序号为 . (1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018;(4)9,9,9,9,9,9. 答案 (1)(4)解析 (1)(4)项数有限,是有穷数列.
探究二由数列的前几项写出数列的一个通项公式例2写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
(3)数列中的每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综合得原数列的一个
反思感悟要由数列的前几项写出数列的一个通项公式,只需观察分析数列中项的构成规律,看哪些部分不随序号的变化而变化,哪些部分随序号的变化而变化,确定变化部分随序号变化的规律,继而将an表示为n的函数关系.
变式训练2写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:(2)1,-3,5,-7,9,…;(3)7,77,777,7 777,….
探究三数列通项公式的应用
反思感悟数列中项的判定方法判断给定的项是不是数列中的项,实质就是一个解方程的过程.若解得的n是正整数,则该项是此数列中的项;否则,就不是该数列中的项.
素养形成思想方法——用归纳法求数列的通项公式典例观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图中有 小圆圈.
分析 仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系,从而归纳出第n个图形中小圆圈的个数.答案 n2-n+1解析 观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,…,故第n个图中小圆圈的个数为(n-1)·n+1=n2-n+1.
反思感悟归纳是逻辑推理的一类,可以发现新命题.本例完美诠释了“观察现象,归纳规律,大胆猜想,小心求证”这一认识发展规律.
当堂检测1.下列各项表
2023-2024学年北师大版选择性必修第二册 第一章 1.1 数列的概念 (课件)
