2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 直线与直线垂直 （课件）

必备知识·情境导学探新知01 观察下面两个图形．问题：(1)教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线的位置关系是什么？(2)六角螺母中直线AB与CD的位置关系是什么？CD与BE的位置关系是什么？ 知识点1　异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线________所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)空间两条直线所成角α的取值范围是____________．思考　1．在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？[提示]　根据等角定理可知，异面直线所成角的大小与点O的位置无关. a′与b′0°≤α≤90° 知识点2　两条异面直线垂直(1)定义：如果两条异面直线所成的角是____，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．(2)表示：直线a与直线b垂直，记作_____．思考　2．两条直线垂直，一定相交吗？[提示]　不一定．当两条异面直线所成的角为90°时，两条异面直线垂直，但不一定相交．直角a⊥b 1．已知正方体ABCD-EFGH，则AH与FG所成的角是________．45°　[如图，连接BG，则BG∥AH，所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角.因为四边形BCGF为正方形，所以∠BGF＝45°.]2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是A1D1和BC的中点，则在长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有________条．2　[长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有AD，B1C1，共2条．]45°2 关键能力·合作探究释疑难02类型1　异面直线所成的角类型2　直线与直线垂直的证明 类型1　异面直线所成的角【例1】　如图，空间四边形ABCD的各个棱长都相等，E为BC的中点，求异面直线AE与CD所成角的余弦值．[解]　如图，取BD的中点F，连接EF，AF，又E为BC的中点，∴EF綉CD，∴∠AEF为异面直线AE与CD所成的角(或补角)．设空间四边形ABCD的棱长为a，则AE＝AF＝，∴cos∠AEF＝＝.故异面直线AE与CD所成角的余弦值为.  发现规律　求异面直线所成角的一般步骤“一作”即过空间一点作两条异面直线的______，而空间一点一般取在两异面直线中的一条上，特别是某些特殊点处，例如“端点”或“中点”处． “二求”即通过解三角形，计算所作的角的大小．“三结论”即假如所构造的角的大小为α，若0°＜α≤90°，则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°＜α＜180°，则________即为所求．平行线180°－α [跟进训练]1．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，求异面直线A1C与B1C1所成的角的大小． [解]　因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，则直线A1C与BC所成的角就是异面直线