名师点析对等比数列定义的理解 (1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征).(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠倒.(4)等比数列中的任何一项均不能为零.(5)等比数列的公比可以是正数、负数,但不能为零.
微练习判断下列数列是不是等比数列.如果是,写出其公比q.④1,0,1,0,1,0,…;⑤1,-4,16,-64,256,….
解 ①不是等比数列;②是等比数列,公比是1;③是等比数列,公比是 ;④不是等比数列;⑤是等比数列,公比是-4.
二、等比中项如果在a与b之间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G称为a与b的等比中项,此时G2=ab.不是所有的两个数都有等比中项
名师点析等比中项概念的理解 (1)只有同号的两个实数才有等比中项.(2)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数.
微思考等比中项与等差中项有什么区别?提示 (1)任意两数都存在等差中项,但不是任意两数都存在等比中项,当且仅当两数同号且均不为0时,才存在等比中项.(2)任意两数的等差中项是唯一的,而如果两数有等比中项,则这两数的等比中项有两个,且互为相反数.
微练习 A.1 B.-1 C.±1 D.2 答案 C
三、等比数列的通项公式首项为a1,公比为q的等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0).当q>0且q≠1时该通项公式可看作指数型函数 名师点析已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的三个,可以求得第四个量.
微拓展(1)通项公式an=a1qn-1,q的次数比等号前的项数小1,不能记错.此公式中q的次数可以这样记:次数为等号前面的项an的项数n减去等号后的项a1的项数1.(2)变形公式an=amqn-m,此公式中q的次数也可以这样记:次数为等号前面的项an的项数n减去等号后的项am的项数m.
课堂篇 探究学习
探究一等比数列基本量的计算例1在等比数列{an}中:(1)已知a3+a6=36,a4+a7=18,an= ,求n;(2)已知a5=8,a7=2,an>0,求an.
反思感悟等比数列的通项公式及变形的应用1.在已知等比数列的首项和公比的前提下,利用通项公式an=a1qn-1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项.2.在已知等比数列中任意两项的前提下,利用an=amqn-m(amq≠0)也可求出等比数列中的任意一项.
变式训练1(1)在等比数列{an}中,如果a1+a4=18,a2+a3=12,那么这个数列的公比为( )A.16 B.8 C.4 D.2
答案 (1)C (2)C 解析 (1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0),∵a1+a4=18,a2+a3=12,∴a1(1+q3)=18,a1(q+q2)=12,q≠-1,
探究二等比中
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第一册 等比数列的概念及其通项公式 (课件)