2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 第八章 提升课 与球有关的“切”“接”问题 （课件）

三维提升课　与球有关的“切”“接”问题 题型突破·析典例01知能演练·扣课标02目录CONTENTS 01题型突破·析典例 ⁠ ⁠　　空间几何体与球有关的“切”“接”问题是立体几何中的重点，也是难点.所谓几何体的外接球，是指几何体的各顶点（或旋转体的顶点、底面圆周）都在一个球面上，此球称为该几何体的外接球；内切球是指与几何体内各面（平面、曲面）都相切的球.求解此类问题的关键是作出合适的截面圆，确定球心，再由球的半径R、截面圆的半径r及各几何量之间建立关系. 题型一外接球【例1】　（1）设直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，且底面△ABC的面积为2，则此直三棱柱外接球的表面积是（　　） A.16πB.C.40πD.64πA.16πC.40πD.64π 解析　（1）设AB＝AC＝AA1＝m，因为∠BAC＝120°，所以×m×m×sin 120°＝2，m＝2，而∠ACB＝30°，所以＝2r（r是△ABC外接圆的半径），r＝2，如图，设M，N分别是△ABC和△A1B1C1的外接圆圆心，由直棱柱的性质知MN的中点O是三棱柱ABC-A1B1C1的外接球球心，OM＝MN＝AA1＝，所以外接球半径R＝OA＝＝＝.于是球的表面积为S＝4πR2＝4π（）2＝40π.故选C.  （2）已知三棱锥A-BCD的侧棱长为2，底面是边长为2的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为 　　　　　⁠.  解析　（2）如图所示，该三棱锥为正三棱锥，O为底面△BCD的中心且AO垂直于底面BCD，O'在线段AO上，O'为外接球球心，令O'A＝O'D＝R，OD＝DE＝×2×＝2，AD＝2，∴AO＝＝4，∴OO'＝4－R，又OO'2＋OD2＝O'D2，∴（4－R）2＋4＝R2，解得R＝，∴V球＝πR3＝π. 答案　（2）π  通性通法常见几何体外接球问题的求解策略（1）正方体、长方体的外接球：①正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半；②长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半. （2）棱锥的外接球：以下四种类型的三棱锥可以补型为长方体求解. （3）圆柱、圆锥的外接球：作轴截面，将空间问题转化为平面问题. （4）圆台的外接球：设r1，r2，h分别为圆台的上、下底面的半径和高，R为外接球的半径. ⁠ ⁠1.据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝BC＝2，则三棱锥外接球表面积为（　　）A.10πB.12πC.14πD.16π 解