2022-2023学年广东省东莞市第四高级中学高三下学期第8周周测数学试题（解析版）

广东省 东莞 市 东莞第 四 高级 中 学 高三 下学期 数学周测试题（第 8 周） 一、 单 选题 1. 若集合 ， ， 满足： ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 设 在复平面内对应的点为 ，则 “ 点 在第四象限 ” 是 “ ” 的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 3. 设 ，则 a ， b ， c 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数 的最小正周期不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 过抛物线 的焦点作直线 l ， l 交 C 于 M ， N 两点，若线段 中点的纵坐标为 2 ，则 （ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 6. 甲、乙、丙、丁、戊 名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有 ， ， 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区 且每个小区至少有一名志愿者 . 则甲不在 小区的概率为 (    ) A. B. C. D. 7 . 函数 恒有 ，且 在 上单调递增，则 的 值为（ ） A. B. C. D. 或 8. 双曲线 的下焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点，若过 A ， B 和点 的圆的圆心在 x 轴上，则直线 l 的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、 多 选题 9 ．已知单位向量 ， 的夹角为 60° ，则在下列向量中，与 不 垂直的是（      ） A ． B ． C ． D ． 10 . 记正项等比数列 的前 n 项和为 ，则下列数列为等比数列的有（ ） A. B. C. D. 11 . 已知正实数 x ， y 满足 ，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 8 C. 最大值为 D. 没有最大值 1 2 ．已知函数 的定义域 D 关于原点对称， 且 ，当 时， ；且对任意 且 ，都有 ，则（      ） A ． 是奇函数 B ． C ． 是周期函数 D ． 在 上单调递减 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 已知空间中三点 ，则点 A 到直线 的距离为 __________ ． 14. 以下为甲、乙两组按从小到大顺序排列 数据： 甲组： 14 ， 30 ， 37 ， a ， 41 ， 52 ， 53 ， 55 ， 58 ， 80 ； 乙组： 17 ， 22 ， 32 ， 43 ， 45 ， 49 ， b ， 56 ． 若甲组数据的第 40 百分位数和乙组数据的平均数相等，则 __________ ． 15. 写出一个同时满足下列三个性质的函数 __________ ． ① 若 ，则 ； ② ； ③ 在 上单调递减． 正方体 的棱长为 2 ， O 为底面 ABCD 的中心． P 为线段 的 中 点，则过 A ， P ， O 三点的平面截此正方体 外接球所得的截面的面积为 . 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知正项数列 前 n 项和为 ，且 ． （ 1 ）求数列 的通项公式； （ 2 ）将数列 和数列 中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列 ，求 的前 50 项和． 18. 记 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 ． （ 1 ）求 ； （ 2 ）已知 ，求 的面积． 19. 如图，在直三棱柱 中， ， E ， F 分别为 的中点，且 平面 ． （ 1 ）求 的长； （ 2 ）若 ，求二面角 的余弦值． 20. 在分层随机抽样中，如果层数分为 2 层，第 1 层和第 2 层抽取的样本量分别 . 第 1 层和第 2 层 的平均值 分别 为 ， 样本 总平均值为 . 第 1 层和第 2 层 的方差 分别 为 ， 样本 总方差为 . 我们可以证明 . （ 1 ）在对某校高三年级学生身高的调查中，采用分层随机抽样的方法，抽取了 40 名男生和 60 名女生，得到男生身高的平均数为 172.3 ，方差为 12.31. 女生身高的平均数为 161.8 ，方差为 37.36. 求该样本的总方差。 用 表示第 1 层样本的各个个体的变量值，用 表示第 2 层样本的各个个体的变量值 . （）求证： ； （）证明公式 成立 （提示： ）Ⅰ 21. 已知椭圆 的离心率为 ，其左焦点为 ． （ 1 ）求 的方程； （ 2 ）如图，过 的上顶点 作动圆 的切线分别交 于 两点，是否存在圆 使得 是以 为斜边的直角三角形？若存在，求出圆 的半径；若不存在，请说明理由． 22. 已知函数 ． （ 1 ）讨论 的极值点个数； （ 2 ）若 有两个极值点 ，且 ，当 时，证明： ． 东莞四中高三数学周测试题（第 8 周）参考答案 1.B 2. A 3. D 4. C 5. C 6. C 7. B 8. B 9 ． ABC 10 . AB 1 1 . AC 12. A CD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 14. 100 15. （答案不唯一） 16. 14. 解 ： 因为 ，甲组数据的第 40 百分位数为第四个数和第五个数的平均数， 乙组数据的平均数为 ， 根据题意得 ， 得 ， 故 15. 解 : 比如 ， ，故 ，又 ，也即 成立， 又 在 上单调递减．故答案 可 为： . 16. 取 的中点 ，因为 P 为线段 中点，连接 交 与点 ， 所以 ，又 ， 所以 ，故过 A ， P ， O 三点的平面为平面 ， 取 的中点 ，过 作 ，垂足为 ， 又 平面 ， 平面 ，所以 ， ， 平面 ，所以 平面 ， 过球心 作 ，则 平面 ， 所以正方体 的外接球的球心到截面 的距离为 的长， 又 ， 所以 ，因为 为 的中点，所以 故截面圆的半径为 ，