2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 余弦定理 （课件）

必备知识·情境导学探新知01 如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度．工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，其中AB＝ km，AC＝1 km，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC＝150°．根据上述条件你能求出山脚BC的长度吗？  知识点1　余弦定理的表示及其推论文字表述三角形中任何一边的平方，等于_________________减去这两边与它们_________________的两倍符号语言a2＝__________________；b2＝____________________；c2＝____________________其他两边平方的和夹角的余弦的积b2＋c2－2bc cos Aa2＋c2－2ac cos Ba2＋b2－2ab cos C 推论cos A＝_________；cos B＝_________；cos C＝_________       知识点2　解三角形(1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．(2)已知三角形的几个元素求__________的过程叫做解三角形．其他元素 思考 1．勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系．你能说说这两个定理之间的关系吗？[提示]　余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例．思考 2．余弦定理推论的作用是什么？[提示]　余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．(1)若b＝3，c＝2，A＝30°，则a＝______；(2)若a＝1，b＝，c＝，则B＝______． (1)　(2)150°　[(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3，所以a＝．(2)由余弦定理的推论，得cos B＝＝＝－．又0°<B<180°，∴B＝150°．]   150° 关键能力·合作探究释疑难02类型1　已知两边与一角解三角形类型2　已知三边解三角形类型3　利用余弦定理判断三角形形状 类型1　已知两边与一角解三角形【例1】　(1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 cm，A＝，则a＝______cm；(2)在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C ＝，则BC＝______． (1)60　(2)4或5　[(1)由余弦定理，得a＝ ＝60(cm)．(2)由余弦定理，得()2＝52＋BC2－2×5×BC×，所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5．] 604或5 反思领悟　已知两边及一角解三角形的两种情况(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出