北京市
2022-2023
学年上学期高一期末数学试题汇编
13
基本不等式及其应用
一、单选题
1
.(
2023
秋
·
北京丰台
·
高一统考期末)已知
,则
的最小值是(
)
A
.
3
B
.
4
C
.
5
D
.
2
2
.(
2023
秋
·
北京西城
·
高一统考期末)某物流公司为了提高运输效率,计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用
C
(单位:万元)与仓储中心到机场的距离
s
(单位:
)之间满足的关系为
,则当
C
最小时,
s
的值为(
)
A
.
20
B
.
C
.
40
D
.
400
3
.(
2023
秋
·
北京东城
·
高一统考期末)已知
,则
的最小值为(
)
A
.
2
B
.
3
C
.
4
D
.
5
4
.(
2023
秋
·
北京西城
·
高一北京八中校考期末)已知
,则
的最小值为(
)
A
.
B
.
2
C
.
D
.
4
5
.(
2023
秋
·
北京
·
高一校考
期末)已知函数
f
(
x
)
=
x
-
4
+
,
x
∈(0,4)
,当
x
=
a
时,
f
(
x
)
取得最小值
b
,则函数
g
(
x
)
=
a
|
x
+
b
|
的图象为
(
)
A
.
B
.
C
.
D
.
6
.(
2023
秋
·
北京朝阳
·
高一统考期末)若
,则下列各式一定成立的是(
)
A
.
B
.
C
.
D
.
7
.(
2023
秋
·
北京
·
高一北京师大附中校考期末)下列结论正确的是(
)
A
.若
,则
B
.若
,则
C
.若
,则
D
.若
,则
8
.(
2023
秋
·
北京
·
高一校考期末)如果
,且
,那么以下不等式正确的个数是(
)
①
;
②
;
③
;
④
.
A
.
B
.
C
.
D
.
9
.(
2023
秋
·
北京门头沟
·
高一校考期末)已知实数
,若
,则下列结论正确的是(
)
A
.
B
.
C
.
D
.
二、填空题
10
.(
2023
秋
·
北京平谷
·
高一统考期末)已知某产品总成本
C
(单位:元)与年产量
Q
(单位:件)之间的关系为
.设年产量为
Q
时的平均成本为
f
(
Q
)(单位:元
/
件),那么
f
(
Q
)的最小值是
.
11
.(
2023
秋
·
北京
·
高一校考期末)已知函数
且
的图像恒过定点
,又点
的坐标满足方程
,则
的最大值为
.
12
.(
2023
秋
·
北京怀柔
·
高一统考期末)已知
,则
的最小值为
.
13
.(
2023
秋
·
北京朝阳
·
高一统考期末)设
且
,
,则
的最小值为
.
14
.(
2023
秋
·
北京
·
高一北京市十一学校校考期末)已知对于实数
,
,满足
,
,则
的最大值为
.
三、解答题
15
.(
2023
秋
·
北京
·
高一清华附中校考期末)已知二次函数
,其中
.
(1)
若
的最小值为
0
,求
m
的值;
(2)
若
有两个不同的零点
,求证:
.
16
.(
2023
秋
·
北京石景山
·
高一统考期末)有这样一道利用
基本不等式求最值的题:
已知
且
求
的最小值
.
小明和小华两位同学都
“
巧妙地用了
”
,但结果并不相同
.
小明的解法:由于
所以
而
那么
则最小值为
小华的解法:由于
所以
而
则最小值为
(
1
)你认为哪位同学的解法正确,哪位同学的解法有错误?
(
2
)请说明你判断的理由
.
17
.(
202
3
秋
·
北京大兴
·
高一统考期末)对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义:若
,那么称点
是点
的
“
上位点
”
.同时点
是点
的
“
下位点
”
;
(1)
试写出点
的一个
“
上位点
”
坐标和一个
“
下位点
”
坐标;
(2)
已知点
是点
的
“
上位点
”
,判断点
是否是点
的
“
下位点
”
,证明你的结论;
(3)
设正整数
满足以下条件:对集合
内的任意元素
,总存在正整数
,使得点
既是点
的
“
下位点
”
,又是点
的
“
上位点
”
,求满足要求的一个正整数
的值,并说明理由.
四、双空题
18
.(
2023
秋
·
北京通州
·
高一统考期末)已知
,则
的最大值为
,最小值为
.
19
.(
2023
秋
·
北京大兴
·
高一统考期末)若直角三角形斜边长等于
12
,则该直角三角形面积的最大值为
;周长的最大值为
.
参考答案:
1
.
B
【分析】根据基本不等式即可求解最值
.
【详解】由于
,故
,所以
,当且仅当
,即
时等号成立,故
最小值为
4
,
故选:
B
2
.
A
【分析】根据均值不等式求解即可
.
【详解】因为
,
当且仅当
,即
时等号成立,
所以当
C
最小时,
s
的值为
20.
故选:
A
3
.
D
【分析】利用基本不等式的性质求解即可
.
【详解】因为
,所以
.
当且仅当
,即
时等号成立
.
所以
的最小值为
.
故选:
D
4
.
C
【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答
.
【详解】因为
,则
,当且仅当
,即
时取
“=”
,
所以
的最小值为
.
故选:
C
5
.
A
【分析】根据基本不等式可得到
a
=
2
,
b
=
1
,得到
g
(
x
)
=
2
|
x
+
1|
,该函数图象可看做
y
=
2
|
x
|
的图像向左平移
1
个单位得到,从而求得结果
.
【详解】因为
x
∈(0,4)
,所以
x
+
1
>
1
,
所以
f
(
x
)
=
x
-
4
+
=
x
+
1
+
-
5≥2
-
5
=
1
,
当且仅当
x
=
2
时取等号,此时函数有最小值
1
,
所以
a
=
2
,
b
=
1
,
此时
g
(
x
)
=
2
|
x
+
1|
=
此函数图象可以看作由函数
y
=
的图象向左平移
1
北京市2022-2023学年高一上学期期末数学试题汇编-13基本不等式及其应用