必备知识•探新知
函数的单调性与导数 知识点 1.函数的单调性与导数正负的关系一般地,函数f(x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下关系:单调递增在某个区间(a,b)上,如果__________________,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增单调递减在某个区间(a,b)上,如果__________________,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减f′(x)>0f′(x)<0
想一想:如何从导数的几何意义理解上述结论?提示:上述结论可以由导数的几何意义得到:如果f ′(x)>0,即函数f(x)图象的切线斜率为正,则切线的倾斜角为锐角,曲线呈上升趋势,即函数f(x)单调递增;如果f ′(x)<0,即函数f(x)图象的切线斜率为负,则切线的倾斜角为钝角,曲线呈下降趋势,即函数f(x)单调递减.
练一练:已知函数y=f(x)的导函数f ′(x)的图象如图所示,那么函数y=f(x)( )A.在(-∞,-1)上单调递增B.在(1,+∞)上单调递减C.在(-∞,2)上单调递增D.在(2,+∞)上单调递减D
2.函数值变化快慢与导数的关系一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得_______,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数在这个范围内变化得_______,函数的图象就比较“平缓”.较快较慢
想一想:函数值增长快慢与导数有怎样的关系?提示:常见的对应情况如下表所示.
练一练:已知函数y=xf ′(x)的图象如图所示(其中f ′(x)是函数f(x)的导函数),则下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是( )C
关键能力•攻重难
(1)f ′(x)是函数y=f(x)的导函数,若y=f ′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )题型探究题型一导数与原函数图象的关系典例 1D
(2)设函数f(x)在定义域内可导,f(x)的图象如图所示,则导函数f′(x)的图象可能为( )D
[解析] (1)由导函数图象可知函数f(x)在(-∞,0)上增函数,排除A,C,在(0,2)上为减函数,排除B,故选D.(2)由f(x)的图象可知,y=f(x)在(-∞,0)上是增函数,因此在x<0时,有f ′(x)>0(即f ′(x)在(-∞,0)上的图象全部在x轴上方),故排除A,C;从原函数图象上可以看出,在区间(0,x1)上原函数是增函数,f′(x)>0;在区间(x1,x2)上原函数是减函数,f′(x)<0;在区间(x2,+∞)上原函数是增函数,f ′(x)>0,故排除B.故选D.
[规律方法] 利用导函数f ′(x)的单调性可以判断原函数f(x)图象的凸性:若f ′(x)>0且单调递增,则原函数f(x)的图象上升且下凸;若f′(x)>0且单调递减,则原函数f(x)的图象上升且上凸;若f ′(x)<0且单调递增,则原函数f(x)的图象下降且下凸;若f ′(x)<0且单调递减,则原函数f(x)的图象下降且上凸.
(1)已知f ′(x)是f(x)的导函数,若f ′(x)的图象如图所示,则f(x)的图象可能是( )对点训练❶D
(2)已知函数y=xf ′(x)的图象如图所示(其中f ′(x)是函数f(x)的导函数),则y=f(x)的图象大致是下列选项中的( )C
(2)当-2<x<-1时,xf ′(x)<0,∴f ′(x)>0,∴当-2<x<-1时,函数y=f(x)单调递增;当-1<x<0时,xf ′(x)>0,∴f ′(x)<0,∴当-1<x<0时,函数y=f(x)单调递减;当0<x<1时,xf ′(x)<0,∴f ′(x)<0,∴当0<x<1时,函数y=f(x)单调递减;当1<x<2时,xf ′(x)>0,∴f ′(x)>0,∴当1<x<2时,函数y=f(x)单调递增,故选C.
题型二利用导数求函数的单调区间 (1)函数f(x)=xex+1的单调递减区间是( )A.(-∞,1) B.(1,+∞)C.(-∞,-1) D.(-1,+∞)(2)函数f(x)=x-2sin x+1在(0,π)上的单调递增区间是( )典例 2CD
[规律方法] 1.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为:(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求导数f′(x).(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.2.若y=f(x)在(a,b)内可导,f′(x)≥0或f′(x)≤0且y=f(x)在(a,b)内导数为0的点仅有有限个,则y=f(x)在(a,b)内仍是单调函数,例如:y=x3在R上f′(x)≥0,所以y=x3在R上单调递增.
求下列函数的单调区间:(1)f(x)=x3-3x+1;(2)f(x)=2x-ln x;(3)f(x)=sin x-cos x+x+1,0<x<2π;对点训练❷[解析] (1)f ′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f ′(x)>0,得x<-1或x>1,令f ′(x)<0,得-1<x<1.∴f(x)的增区间是(-∞,-1),(1,+∞);f(x)的减区间是(-1,1).
题型三已知函数的单调性,确定参数的取值范围典例 3[分析] 根据函数的单调性与其导函数的正负关系进行求解.
[规律方法] 根据已知函数的单调性求参数的取值范围:函数在区间[a,b]上单调递增(减)⇔f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)在区间[a,b]上恒成立,且在区间[a,b]的任意子区间上f ′(x)不恒等于零,然后利用分离参数法或函数性质求解恒成立问题.
(1)已知函数f(x)=2ax-x3,x∈(0,1),a>0,若f(x)在(0,1)上是增函数,则a的取值范围是____________.(2)已知函数f(x)=ax-ln x在(0,2)上不单调,则a的取值范围是_
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第二册函数的单调性(课件)